Feladat:	B.4285	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kúsz Ágnes
Füzet:	2011/április, 216. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/szeptember: B.4285

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel az első két elem 1 és 2, a 3 nem eleme a sorozatnak, a 4 és az 5 számok közül pedig legfeljebb egy lehet a sorozat eleme. Ha $n\ge 5$ (természetes szám) szerepel a sorozatban, akkor $n-1$ és $n-2$ nem szerepelhet, mert $\left(n-1\right)+1=n$ és $\left(n-2\right)+2=n$. Azaz három egymást követő, a 2-nél nagyobb szám közül legfeljebb egy szerepelhet a sorozatban. Így, ha $k$ osztható 3-mal, akkor a következő módon csoportosítjuk a számokat 4-től $k$-ig: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{4,}\mathrm{5,}6;\mathrm{7,}\mathrm{8,}9;\mathrm{10,}\mathrm{11,}12;\text{...}k-2;k-1;k\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a $k$ nem osztható 3-mal, akkor nyilván az utolsó csoportba 1 tag ($k$) vagy két tag $\left(k-1;k\right)$ kerül. Ez 3-mal osztható $k$ esetén $\frac{k-3}{3}$ csoport, ha $k$ hárommal osztva 1-et ad maradékul, akkor $\frac{k-1}{3}$, 2-es maradék esetében pedig $\frac{k-2}{3}$ csoport. Ezek mindegyike kisebb, mint $\frac{k}{3}$, ezért mondhatjuk, hogy legfeljebb $\frac{k}{3}$ ilyen csoport van, így összesen a $k$-nál kisebb elemek száma legfeljebb $2+\frac{k}{3}$.