Feladat:	B.4274	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győrfi Mónika
Füzet:	2011/április, 212 - 213. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: B.4274

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a paralelogramma csúcsait $A$, $B$, $C$, $D$-vel ‐ úgy választva a betűzést, hogy $AB=CD=a$ és $AD=BC=b$ teljesüljön. A szomszédos szögfelezők metszéspontjai legyenek $P$, $Q$, $R$ és $S$, a szögfelezőknek a paralelogramma határával való, a csúcsoktól különböző metszéspontjai pedig $K$, $L$, $M$ és $N$. Az $a<b<2a$ feltételből következik, hogy a pontok sorrendje az ábrán láthatónak megfelelő. Mivel a paralelogramma szomszédos szögeinek összege ${180}^{\circ }$, a szomszédos csúcsokból induló szögfelezők merőlegesek egymásra. Tehát a $PQRS$ négyszög téglalap. mert minden szöge derékszög. A $BM$ és $AL$ szögfelezők merőlegességéből az is következik, hogy az $ABL$ háromszög egyenlő szárú, $a=AB=BL$.     Ugyanígy kapjuk, hogy a $CDN$ háromszög is egyenlő szárú. Ezért a $P$ és $R$ pontok rajta vannak az $AD$ és $BC$ egyenesek középpárhuzamosán, s ugyanígy láthatjuk be azt is, hogy a $QS$ egyenes pedig $AB$ és $CD$ középpárhuzamosa. Ha a $PR$ egyenesnek a paralelogramma másik két oldalával való metszéspontját az ábra szerint $E$ és $F$ jelöli, akkor $EP$ az $ABL$, $RF$ pedig a $CDN$ háromszög középvonala. Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle EP=\frac{BL}{2}=\frac{a}{2}=\frac{ND}{2}=RF\mathrm{,}}\end{array}$ amiből kapjuk, hogy a $PQRS$ téglalap átlóinak hossza $\begin{array}{c}{\displaystyle PR=EF-\left(EP+RF\right)=b-a\mathrm{.}}\end{array}$ A $PQRS$ átlói által bezárt szög megegyezik a paralelogramma $ABC\sphericalangle =\alpha$ szögével, ezért az ismert területképletek alapján a paralelogramma, illetve a téglalap területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{ABCD}=AB\cdot BC\cdot \text{sin}\alpha =ab\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{PQRS}=\frac{PR\cdot QS\cdot \text{sin}\alpha }{2}=\frac{{\left(b-a\right)}^2\text{sin}\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A paralelogramma egységnyi területű, ezért a keresett terület $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{PQRS}=\frac{T_{PQRS}}{T_{ABCD}}=\frac{{\left(b-a\right)}^2}{2ab}\mathrm{.}}\end{array}$