Feladat: B.4262 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mihálka Éva 
Füzet: 2011/április, 210 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Térbeli ponthalmazok, Mértani helyek, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/április: B.4262

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett mértani hely a PQ szakasz Thalész-gömbje.
Legyen az e egyenes és az Se sík döféspontja Me. Ha e megegyezik a PQ egyenessel, akkor Me nyilván egybeesik Q-val. Ha pedig e merőleges a PQ egyenesre, akkor Se tartalmazza a PQ egyenest, tehát ezekben az esetekben Me egybeesik P-vel. Vagyis a P és Q pontok hozzátartoznak a mértani helyhez.

1. ábra


2. ábra

Ha e az előzőektől különböző egyenes, akkor mivel a PMeQ szög derékszög, a PMeQ derékszögű háromszög síkjában az Me pont illeszkedik a PQ szakasz fölé emelt Thalész-körre.

 

3. ábra
 
A metszéspont tehát mindig a PQ átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha Me ennek a gömbfelületnek P-től és Q-tól is különböző pontja, akkor a PMe egyenesre az Me pontban állított merőleges sík tartalmazza az MeQ egyenest, ezért áthalad a Q ponton. Tehát ez a sík megegyezik Se-vel, azaz Me előáll egy megfelelő egyenes és sík döféspontjaként.
Ezzel állításunkat beláttuk.