A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tegyük fel, hogy az háromszög csúcsánál lévő szögét négy egyenlő részre osztja a magasságvonal, a súlyvonal és a szögfelező. Jelöljük a háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon , , , illetve , , -val. Ha , akkor a , és pontok egybeesnek. Tehát . Az oldalak szimmetrikus szerepe miatt feltehetjük, hogy teljesül. Mivel az oldal belső pontja, és is teljesül, továbbá miatt , amiből viszont következik.
Ezért az háromszög csúcsához tartozó szögfelező a szögtartományban halad, tehát az szakasz belső pontja. A szögfelezőtétel következménye szerint , ezért az szakasz belső pontja. Vagyis az , , , , pontok ebben a sorrendben követik egymást. A hasonlóságok nem változtatják meg a szögeket, ezért feltehetjük, hogy , továbbá az egyszerűség kedvéért vezessük be a jelölést. Ekkor , ezért , és , vagyis | | Vezessük be a jelölést és alkalmazzuk a tangens függvény addíciós képletét, mely szerint: | | a következő egyenletet kapjuk: Hozzunk közös nevezőre: | | egyenlet adódik, amit -val osztva majd rendezve a egyenletet kapjuk, ami -re nézve másodfokú. Ennek megoldásai a megoldóképlet alapján, valamint a összefüggést felhasználva: Mivel , csak a egyenlőtlenségeknek eleget tevő megoldás adhat megfelelő háromszöget. Ebből kapjuk, hogy Mivel , azért a háromszög derékszögű. Bármely derékszögű háromszögben a derékszögű csúcshoz tartozó magasságvonalnak a befogókkal bezárt szögei megegyeznek a háromszög hegyesszögeivel, tehát csak olyan derékszögű háromszög tehet eleget a feladat feltételeinek, melynek egyik hegyesszöge . Ha az háromszögben ez teljesül, akkor | | tehát az háromszög egyenlő szárú, azaz felezi az szöget, s ezért negyedeli az szöget. Mivel a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja, az háromszög is egyenlő szárú, tehát , vagyis a -hez tartozó súlyvonal is negyedeli az ott lévő szöget. Tehát a feladat feltételeinek pontosan azok a derékszögű háromszögek tesznek eleget, amelyeknek egyik hegyesszöge .
|
|