Feladat:	B.4252	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2011/április, 207. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Esetvizsgálat, Konvex sokszögek, Külső szög tétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: B.4252

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Bármely konvex sokszög külső szögeinek összege ${360}^{\circ }$, ezek közül tehát legfeljebb 3 darab lehet tompaszög. Mivel egy belső szög pontosan akkor hegyesszög, ha a mellette lévő külső szöge tompaszög, egy konvex sokszögnek legfeljebb 3 hegyesszöge lehet. A sokszög minden szöge 2 oldalon van rajta, ezért ha $n\ge 7$, akkor bármely konvex $n$-szögnek van olyan oldala, amelyen lévő két szög egyike sem hegyesszög. Ha tehát $n\ge 7$, akkor igaz az állítás.     Ha $n=3$, 4, 5 vagy 6, akkor nem igaz az állítás. Ezekben az esetekben vannak olyan konvex $n$-szögek, melyeknek minden oldalán van hegyesszög. Ilyen például az a sokszög, melyet úgy kapunk, hogy egy szabályos háromszög $n-3$ darab oldalára kifelé olyan egyenlő szárú háromszöget illesztünk, amelynek alapja a szabályos háromszög megfelelő oldala, alapon fekvő szögeinek nagysága pedig ${10}^{\circ }$.