Feladat:	B.4247	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árvay Balázs ,  Balog Dóra ,  Hajdók Soma
Füzet:	2011/április, 204 - 205. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Helyvektorok, Mértani helyek, Térbeli ponthalmazok, Kocka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: B.4247

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen az $MN$ szakasz felezőpontja $T$. Ha $M=A$, s ezért $N=F$, akkor $T$ az $AF$ él $X$ felezőpontja, ha pedig $M=C$, s ezért $N=B$, akkor $T$ a $BC$ él $Y$ felezőpontja. Megmutatjuk, hogy a keresett mértani hely az $XY$ szakasz.   1. ábra   Mivel $AM=FN$ és az $AC$, valamint $FB$ lapátló egyenesek a kocka $ADF$ oldallapjának $S$ síkjával ugyanakkora szöget zárnak be, az $S$ síktól az $M$ és $N$ pontok egyenlő távolságra vannak. Legyen az $M$-en és $N$-en átmenő, $S$-sel párhuzamos $T$ sík és az $AB$ egyenes döféspontja $K$. Ekkor $KN$ párhuzamos $AF$-fel, tehát a $BKN$ és $BAF$ háromszögek középpontosan hasonlóak. Ezért a $KN$ szakasz $L$ felezőpontja rajta van a $BX$ egyenesen. A $KMN$ háromszögben $LT$ középvonal, ezért párhuzamos $KM$-mel, s így az $Y$-t tartalmazó $BC$-vel is. Ez viszont azt jelenti, hogy ha az $XBY$ háromszöget $X$-ből középpontosan kicsinyítjük olyan arányban, hogy $B$ képe $L$ legyen, akkor $Y$ képe $T$ lesz, tehát $T$ rajta van az $XY$ szakaszon. Megfordítva, ha $T$ az $XY$ szakasz tetszőleges belső pontja, akkor legyen a $T$-n átmenő $S$-sel párhuzamos síknak az $AB$, $XB$, $AC$ és $FB$ szakaszokkal való metszéspontja rendre a $K$, $L$, $M$ és $N$. Ekkor a párhuzamos szelők tételéből következik, hogy $LT$ középvonal a $KMN$ háromszögben, tehát $T$ az $MN$ szakasz felezőpontja. Másrészt ugyancsak a szelőtétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle AM:AC=AK:AB=FN:FB\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $AC=FB$ miatt $AM=FN$. Tehát $T$ előáll valamely megfelelő szakasz felezőpontjaként.   II. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy az $A$ pont legyen az origó, a $B$, $D$ és $F$ pontok rendre az $x$-, $y$- és $z$-tengely pozitív felére essenek, az egységet pedig úgy válasszuk, hogy e három pont esetén a 0-tól különböző koordináta $2$ legyen (2. ábra). Ekkor $C\left(2;2;0\right)$, az $AC$ szakaszon lévő $M$ pont koordinátái $\left(2a;2a;0\right)$ valamely $0\le a\le 1$ valós számra, s az $AM$ szakasz hossza $2\sqrt[]{2}a$. Mivel a $BF$ szakaszon lévő pontok koordinátái $t\cdot \left(2;0;0\right)+\left(1-t\right)\cdot \left(0;0;2\right)=\left(2t;0;2-2t\right)$ alakúak, ahol $0\le t\le 1$, azért ha az $N$ ponthoz a $t$ paraméterérték tartozik, akkor az $FN$ szakasz hossza $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{{\left(2t-0\right)}^2+{\left(\left(2-2t\right)-2\right)}^2}=2\sqrt[]{2}t\mathrm{.}}\end{array}$   2. ábra   Az $AM=FN$ feltételből tehát az következik, hogy $a=t$, vagyis $N$ koordinátái $\left(2a;0;2-2a\right)$. Tehát az $MN$ szakasz $K$ felezőpontjának koordinátái $\left(2a;a;1-a\right)$. Mivel $a$ tetszőleges 0 és 1 közti értéket felvehet, a keresett mértani hely megegyezik a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{K}=\left\{\left(2a;a;1-a\right):0\le a\le 1\right\}}\end{array}$ ponthalmazzal. Az $X=2a$, $Y=a$, $Z=1-a$ feltételekből azt kapjuk, hogy $\text{K}$ része az $X/2=Y=-Z+1$ egyenletrendszerű egyenesnek. S mivel $a$ minden 0 és 1 közti értéket felvesz, azért $\text{K}$ éppen az ezen az egyenesen lévő $\left(0;0;1\right)$ és $\left(2;1;0\right)$ pontok összekötő szakasza. E két pont a kocka $AF$, illetve $BC$ élének felezőpontja, tehát a keresett mértani hely e két élfelezőpont összekötő szakasza.     III. megoldás. A tér tetszőleges $P$ pontjának helyvektorát jelölje $\text{<span style="font-weight: bold;">p</span>}$. Ekkor az $AF$ él $X$ és a $BC$ él $Y$ felezőpontjának helyvektora $\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}=\frac{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}}{2}$, illetve $\text{<span style="font-weight: bold;">y</span>}=\frac{\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}{2}$. Minthogy $AC=BF$, ha valamely $0\le \lambda \le 1$ esetén $M$ az $AC$ lapátlót $\lambda :\left(1-\lambda \right)$ arányban osztó pont, akkor az $N$ pont az $FB$ lapátlót szintén $\lambda :\left(1-\lambda \right)$ arányban osztja, és viszont. Ekkor az $MN$ szakasz $Z$ felezőpontjára $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">z</span>}=\frac{\text{<span style="font-weight: bold;">m</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">n</span>}}{2}=\frac{\left(\left(1-\lambda \right)\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\lambda \text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}\right)+\left(\left(1-\lambda \right)\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}+\lambda \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\right)}{2}=\left(1-\lambda \right)\cdot \frac{\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">f</span>}}{2}+\lambda \cdot \frac{\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}+\text{<span style="font-weight: bold;">c</span>}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\text{<span style="font-weight: bold;">z</span>}=\left(1-\lambda \right)\text{<span style="font-weight: bold;">x</span>}+\lambda \text{<span style="font-weight: bold;">y</span>}$, tehát ekkor $Z$ is $\lambda :\left(1-\lambda \right)$ arányban osztja az $XY$ szakaszt. Ezért a keresett mértani hely éppen az $XY$ szakasz.