Feladat:	C.1038	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Neumer Tamás
Füzet:	2011/április, 203. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Különleges függvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: C.1038

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $\text{lac}\left(x\right)$ függvény minden $\left[2n;2n+1\right]$ (ahol $n\in \text{Z}$) intervallumban megegyezik az $f\left(x\right)=x$ függvénnyel, míg minden egyéb $\left]2n+1;2n+2\right[$ intervallum képe a $g\left(x\right)=-x$ egyenessel párhuzamos, a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2n+\frac{3}{2};2n+\frac{3}{2}\right)}\end{array}$ pontra szimmetrikusan illeszkedő nyílt szakasz (lásd ábra).     A $\text{lac}\left(x\right)$ függvény tehát egy kölcsönösen egyértelmű függvény (azaz minden $x$ értékhez egyetlen $\text{lac}\left(x\right)$ függvényérték tartozik és fordítva). Ebből a következik, hogy $\text{lac}\left(2x^2+x+4\right)=\text{lac}\left(x^2+7x-1\right)$ akkor és csak akkor teljesülhet, ha $2x^2+x+4=x^2+7x-1$ is teljesül. Az egyenletet rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-6x+5=0.}\end{array}$ Ebből: $x_1=1$, $x_2=5$. Tehát két megoldása van az eredeti egyenletnek.