Feladat:	C.1036	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szőts Nóra
Füzet:	2011/március, 154 - 155. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatósági feladatok, Permutációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: C.1036

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A számjegyek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, és tudjuk, hogy $11\mid \overline{abcdefghi}$. A 11-gyel való oszthatóság miatt az $\overline{abcdefghi}$ szám számjegyeit váltakozó előjellel összegezve egy 11-gyel osztható számot kapunk. Tehát az adott számjegyekből 4-et pozitívnak, 5-öt negatívnak (vagy 5-öt pozitívnak, 4-et negatívnak) véve, összegezve 11-gyel osztható számokat kell keresni. A legnagyobb esetben: $9+8+7+6+5-4-3-2-1=25$. A legkisebb esetben: $1+2+3+4-5-6-7-8-9=-25$. Tehát az alábbi 11-gyel osztható számok jöhetnek szóba összegként: $-22$, $-11$, 0, 11, 22. Mivel öt páratlan számból összeadással és kivonással nem lehet páros számot kapni, ezek közül csak két összeget kell megvizsgálni: a $-11$-et és a 11-et. Ha minden számjegy előjele $+$, akkor az összeg: $1+2+\text{...}+9=45$, ebből kell kétszer kivonni a negatív előjelű számjegyeket, hogy $-11$-et vagy 11-et kapjunk. Ha a negatív előjelű számjegyek összege $\frac{45-\left(-11\right)}{2}=28$, akkor négy szám esetén a lehetőségek: $\begin{array}{c}{\displaystyle 9+8+7+\mathrm{4,}9+8+6+5.}\end{array}$ Csak ezek lehetnek, mert kisebb számok esetén az összeg kisebb lesz 28-nál. Öt szám esetén a lehetőségek: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 9+8+7+3+\mathrm{1,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 9+8+6+4+\mathrm{1,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 9+8+6+3+\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 9+8+5+4+\mathrm{2,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 9+7+6+5+\mathrm{1,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 9+7+6+4+\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 9+7+5+4+\mathrm{3,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 8+7+6+5+\mathrm{2,}}\hfill & \hfill {\displaystyle 8+7+6+4+3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Csak ezek lehetnek, mert kisebb számok esetén az összeg 28-nál kisebb lesz. Ha a pozitív előjelű számjegyek összege 28, akkor is ugyanezt a 11-féle beosztást kapnánk. Tehát 11-féleképpen oszthatjuk be a számjegyeket pozitív vagy negatív helyre, de még sorba is kell rendeznünk őket. Az öt azonos előjelűt $5!$-féleképpen, a maradék négy másik előjelűt pedig $4!$-féleképpen rendezhetjük sorba. Vagyis az összes eset: $11\cdot 5!\cdot 4!=31680$. Tehát összesen 31 680 darab 11-gyel osztható 9 jegyű szám van a tízes számrendszerben, amelyben a 0 kivételével minden számjegy előfordul.