Feladat:	C.1034	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Keceli-Mészáros Emese
Füzet:	2011/március, 153 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Szabályos sokszögek geometriája, Terület, felszín, Hengerek, Csonkakúp, Egyenes körkúpok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: C.1034

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A szabályos hatszögnek kétféle szimmetriatengelye van. Először tekintsük azt, amelyik két szemközti oldal felezőpontján megy át. Ezen tengely körül forgatva a hatszöget két egybevágó csonkakúp keletkezik. A kérdéses felszín két csonkakúp-palást felszínéből és két kör területéből áll (az alapkör területét nem kell figyelembe venni). Legyen a hatszög oldala egységnyi, ekkor a fedőkör sugara $r=\frac{1}{2}$, az   alapkör sugara $R=1$, a csonkakúp alkotója $a=1$. A fedőkör területe   $\frac{1}{4}\pi$, a csonkakúp palást területe $\frac{3}{2}\pi$.     A keresett felszín: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=2\cdot \frac{1}{4}\pi +2\cdot \frac{3}{2}\pi =\frac{7}{2}\pi \mathrm{.}}\end{array}$ A másik esetben a szimmatriatengely a hatszög két szemközti csúcsán megy át. Ekkor a forgatáskor két egybevágó kúp és egy henger jön létre. Tekintsük az $ABC$ egyenlőszárú háromszöget. Az $AC$ felezőpontja legyen $D$. A $BDC$ háromszög egy 1 egység oldalú   szabályos háromszög fele, ezért $r=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$. A felszín a két kúppalást és a hengerpalást területének összege: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T_{\text{kúpok}}}& {\displaystyle =2r\pi a=2\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}\pi \cdot 1=\sqrt[]{3}\pi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle T_{\text{henger}}}& {\displaystyle =2r\pi m=\sqrt[]{3}\pi \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A két felszín összege $F_2=2\sqrt[]{3}\pi$.     A felszínek aránya: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{F_1}{F_2}=\frac{\frac{7}{2}\pi }{2\sqrt[]{3}\pi }=\frac{7}{4\sqrt[]{3}}\approx 1\mathrm{,}0104.}\end{array}$ A két forgástest felszíne közelítőleg egyenlő.