Feladat:	C.1033	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blóz Gizella Evelin
Füzet:	2011/március, 152 - 153. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Logaritmusos egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: C.1033

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: $x>0$. Áttérve 2009-es alapra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{log}{}_{2009}\left(2009x\right)}{\text{log}{}_{2009}2010}=\text{log}{}_{2009}\left(2010x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozhatunk a nem 0 nevezővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{2009}\left(2009x\right)=\text{log}{}_{2009}2010\cdot \text{log}{}_{2009}\left(2010x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Alkalmazzuk a szorzat logaritmusára ismert összefüggést: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_{2009}2009+\text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =\text{log}{}_{2009}2010\cdot \left(\text{log}{}_{2009}2010+\text{log}{}_{2009}x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1+\text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =\text{log}{}_{2009}^{2}2010+\text{log}{}_{2009}2010\cdot \text{log}{}_{2009}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =-\frac{\text{log}{}_{2009}^{2}2010-1}{\text{log}{}_{2009}2010-1}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =-\text{log}{}_{2009}2010-\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =\text{log}{}_{2009}{2010}^{-1}-\text{log}{}_{2009}\mathrm{2009,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{2009}x}& {\displaystyle =\text{log}{}_{2009}\frac{1}{2009\cdot 2010}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $\text{log}{}_{2009}x$ függvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{1}{2009\cdot 2010}\mathrm{,}}\end{array}$ ami eleget tesz a kikötésnek. (Ellenőrzéssel látható, hogy jól számoltunk.)