Feladat:	C.1022	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bogár Blanka
Füzet:	2011/március, 152. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Rombuszok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: C.1022

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük $A$, $B$, $C$, $D$-vel a rombusz csúcsait, átlóinak metszéspontját $M$-mel. Tudjuk, hogy a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A $BCM$ derékszögű háromszögből kiszámíthatjuk a rövidebbik átló hosszának felét a Pitagorasz-tétel felhasználásával: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle C{M}^2}& {\displaystyle ={20}^2-{16}^2=\mathrm{144,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle CM}& {\displaystyle =12;}\hfill \end{array}}$ a rövidebbik átló hossza 24.     A hosszú átló mentén történő összenyomás után egy újabb derékszögű háromszöget kapunk. A hosszabbik átló csökkenésének mértéke legyen $x$, a rövidebbik átló ekkor $1\mathrm{,}2x$ értékével nőtt. Az új derékszögű háromszögben $MB\text{'}=16-0\mathrm{,}5x$, $MC\text{'}=12+0\mathrm{,}6x$ és $B\text{'}C\text{'}=20$. Írjuk fel ismét a Pitagorasz-tételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(16-0\mathrm{,}5x\right)}^2+{\left(12+0\mathrm{,}6x\right)}^2={20}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Végezzük el a műveleteket. Kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}61x^2-1\mathrm{,}6x=\mathrm{0,}}\end{array}$ szorzattá alakítva $x\left(0\mathrm{,}61x-1\mathrm{,}6\right)=0$, ahonnan $x=0$ (nem megoldása a feladatnak), vagy $x=2\mathrm{,}62$. Az átlók hossza: $\begin{array}{c}{\displaystyle 32-x\approx 29\mathrm{,}\mathrm{38,}\text{illetve}24+1\mathrm{,}2x\approx 27\mathrm{,}14.}\end{array}$