Kezdőlap


Feladat:	B.4278	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zahemszky Péter
Füzet:	2011/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: B.4278

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel

\begin{matrix} \frac{cos (x - y) - cos (x + y)}{2} = sin x \cdot sin y és \frac{cos (x - y) + cos (x + y)}{2} = cos x \cdot cos y, \end{matrix}

ezek hányadosa

\begin{matrix} \frac{sin x}{cos x} \cdot \frac{sin y}{cos y} = tg x \cdot tg y = \frac{cos (x - y) - cos (x + y)}{cos (x - y) + cos (x + y)} = \frac{cos (x - y) - cos a}{cos (x - y) + cos a} = b \end{matrix}

(a tangens miatt

x \neq \frac{π}{2} + k π

és

y \neq \frac{π}{2} + k π

, azaz

cos x \cdot cos y \neq 0

). Tehát

\begin{matrix} cos (x - y) - cos a = b \cdot cos (x - y) + b \cdot cos a, \end{matrix}

úgyhogy

(1 - b) \cdot cos (x - y) = (1 + b) \cdot cos a

, s ebből

\begin{matrix} cos (x - y) = \frac{1 + b}{1 - b} \cdot cos a . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x - y = \pm (arccos (\frac{1 + b}{1 - b} \cdot cos a)) + 2 k \cdot π (k \in Z) . \end{matrix}

Vagyis

\begin{matrix} x & = \frac{(x + y) + (x - y)}{2} = \frac{a + 2 k \cdot π \pm (arccos (\frac{1 + b}{1 - b} \cdot cos a))}{2} és \\ y & = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{a - 2 k \cdot π \mp (arccos (\frac{1 + b}{1 - b} \cdot cos a))}{2} (k \in Z) . \end{matrix}

b = 1

, akkor

cos (x - y) - cos a = cos (x - y) + cos a

, ezért

0 = 2 \cdot cos a

, azaz

0 = cos (x + y)

. Tehát, ha

a = \frac{π}{2} + k π

, akkor végtelen sok megoldás van

(y = \frac{π}{2} + k π - x)

, egyébként nincs megoldás.