Kezdőlap


Feladat:	B.4260	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bende Lilla , Weisz Ágoston
Füzet:	2011/február, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: B.4260

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mindkét egyenletet négyzetre emeljük, majd a kapott egyenleteket összeadjuk. A $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ azonosság figyelembe vételével kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 + 2 (cos x cos y + cos x cos z + cos y cos z) + \\ + 2 (sin x sin y + sin x sin z + sin y sin z) = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9; \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} (cos x cos y + sin x sin y) + (cos x cos z + sin x sin z) + (cos y cos z + sin y sin z) = 3. \end{matrix}

cos α cos β + sin α sin β = cos (α - β)

addíciós képletet mind a három tagra alkalmazva:

cos (x - y) + cos (x - z) + cos (y - z) = 3

. Mivel a

cos

függvény értéke nem lehet nagyobb, mint 1, ez az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha

cos (x - y) = cos (x - z) = cos (y - z) = 1

, azaz

(x - y)

(x - z)

(y - z)

2 π

egész számú többszörösei:

\begin{matrix} y = x + 2 k_{2} π; z = x + 2 k_{3} π, \end{matrix}

ahol

k_{2}

k_{3}

tetszőleges egész számok. Ekkor

cos x = cos y = cos z

és

sin x = sin y = sin z

; mindezt az eredeti egyenletekbe beírva:

\begin{matrix} cos x + cos x + cos x = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2}, sin x + sin x + sin x = \frac{3}{2}, \end{matrix}

más szóval

\begin{matrix} cos x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, sin x = \frac{1}{2}; \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + 2 k_{1} π, \end{matrix}

ahol

k_{1}

tetszőleges egész szám. Tehát a megoldás:

\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + 2 k_{1} π, y = \frac{π}{6} + 2 k_{2} π, z = \frac{π}{6} + 2 k_{3} π, \end{matrix}

ahol

k_{1}

k_{2}

k_{3}

tetszőleges egész számok.

II. megoldás. Képzeljük el a feladatot úgy, mintha a komplex számsíkon három, egységnyi hosszúságú vektor összegeként kellene előállítani a

\frac{3 \sqrt[]{3}}{2} + i \frac{3}{2}

vektort. Bevezetve ugyanis az

s = cos x + i sin x

t = cos y + i sin y

u = cos z + i sin z

egységnyi hosszú komplex ismeretleneket, az

s + t + u = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} + i \frac{3}{2}

egyenlet a komplex számok körében éppen azt jelenti, hogy az egyenlet bal oldalának valós része,

cos x + cos y + cos z

egyenlő a jobb oldal valós részével,

\frac{3 \sqrt[]{3}}{2}

-vel, és az egyenlet bal oldalának képzetes része,

sin x + sin y + sin z

egyenlő a jobb oldal képzetes részével,

\frac{3}{2}

-del; ezek pedig éppen a feladat egyenletei.
Írjuk fel az

s + t + u = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} + i \frac{3}{2}

összegre a háromszög-egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 3 = | s | + | t | + | u | \geq | s + t + u | = | \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} + i \frac{3}{2} | = \sqrt[]{{(\frac{3 \sqrt[]{3}}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = 3. \end{matrix}

A kapott egyenlőség éppen azt jelenti, hogy az

s

t

u

vektorok párhuzamosak és egyenlő állásúak, így

| s | = | t | = | u | = 1

miatt

s = t = u

, ezért

\begin{matrix} s = t = u = \frac{1}{3} (\frac{3 \sqrt[]{3}}{2} + i \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt[]{3}}{2} + i \frac{1}{2} . \end{matrix}

Tehát

cos x = cos y = cos z = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

sin x = sin y = sin z = \frac{1}{2}

, azaz a megoldás:

\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + 2 k π, y = \frac{π}{6} + 2 m π, z = \frac{π}{6} + 2 n π, \end{matrix}

ahol

k

m

n

tetszőleges egész számok.