Kezdőlap


Feladat:	C.1027	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Konczi Anita
Füzet:	2011/február, 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatóság, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/március: C.1027

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Két négyzet összege csak úgy lehet nulla, ha mind a kettő külön-külön nulla. Azaz ekkor

\begin{matrix} a x^{2} + b x + 14 & = 0, \\ b x^{2} + a x + 8 & = 0 & (1) \end{matrix}

is teljesül. Adjuk össze a két egyenletet:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + b x^{2} + a x + 22 = 0. \end{matrix}

Alakítsuk szorzattá:

\begin{matrix} a x (x + 1) + b x (x + 1) = - 22, \end{matrix}

emeljük ki az

x (x + 1)

-et:

\begin{matrix} x (x + 1) (a + b) = - 22. \end{matrix}

A 22 prímtényezős felbontása

1 \cdot 2 \cdot 11 = 22

. E három szám szorzata csak úgy lehet negatív, ha vagy mindegyik tényező negatív, vagy egy közülük negatív és a másik kettő pozitív. Mivel

x

és

x + 1

egymás utáni egész számok, előjelük megegyezik, így két eset lehetséges (

x

nem lehet

- 1

, mert akkor

x + 1 = 0

lenne): vagy

x = 1

x + 1 = 2

és

a + b = - 11

; vagy

x = - 2

x + 1 = - 1

és

a + b = - 11

. Az első esetben

x

értékét helyettesítsük (1)-be, azt kapjuk, hogy

a + b = - 14

, illetve

a + b = - 8

, ami ellentmondás.
A második esetben

x = - 2

, ezt (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} 4 a - 2 b & = - 14, \\ 4 b - 2 a & = - 8. \end{matrix}

Az első egyenletből

b = 2 a + 7

, a második egyenletbe helyettesítve

8 a + 28 - 2 a = - 8

és innen

a = - 6

, és

b = - 5

.
Az

x = - 2

valóban megoldás, amit helyettesítéssel ellenőrizhetünk:

\begin{matrix} \begin{matrix} - 6 x^{2} - 5 x + 14 & = 0, & és & - 5 x^{2} - 6 x + 8 & = 0, \\ - 24 + 10 + 14 & = 0, & - 20 + 12 + 8 & = 0. \end{matrix} \end{matrix}