Feladat: C.1003 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fillinger Zsófia Klára 
Füzet: 2011/február, 79 - 80. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): C gyakorlat, Egyenlőtlenség-rendszerek, Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Szöveges feladatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/október: C.1003

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha vegyiáruból v, papíráruból p tonnát veszünk, akkor a kamion kapacitását az

v+p≤5,(1)(v,p≥0)v+3p≤12(2)
feltételekkel írhatjuk le. Ha H jelöli a hasznot, akkor
H105=v+2p.
H a v-nek és p-nek is szigorúan monoton növő függvénye; ezért, ha v1≥v0 és p1≥p0, és legalább az egyik helyen szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor v1,p1-re nagyobb a haszon, mint v0,p0 választásával. Így célszerű v és p értékét addig növelni, ameddig (1)-ben vagy (2)-ben egyenlőséget kapunk: H csak ilyen értékekre lehet maximális. Ennek megfelelően két esetet különböztethetünk meg.
1. eset:
v+p=5,(1)v+3p≤12.(2)
Fejezzük ki v-t az (1)-ből és helyettesítsük (2)-be:
(5-p)+3p≤12,(2)p≤3,5.
Ezzel
H105=(5-p)+2p=p+5≤8,5,
így ebben az esetben H maximuma 8,5⋅105=850000, ami p=3,5, v=5-p=1,5 esetén valósul meg.
2. eset:
v+p≤5,(1)v+3p=12.(2)
Az előbbi esethez hasonlóan eljárva, (2)-ből v=12-3p, ezt (1)-be helyettesítve
ezzel(12-3p)+p≤5,p≥3,5,ezzelH105=(12-3p)+2p=12-p≤8,5.


Itt pontosan akkor teljesül egyenlőség, ha p=3,5 és v=12-3p=1,5, ami megegyezik az 1. esetre kapott szélsőérték-hellyel. A haszon tehát legfeljebb 850 000 forint és pontosan akkor ennyi, ha p=3,5 és v=1,5.
 
II. megoldás. Ábrázoljuk a p,v koordináta-rendszerben az (1) és (2) függvényeket.
 
 

A hasznot százezer forintba számolva keressük a v+2p függvény maximumát.
Az előző két egyenes metszéspontjának koordinátái (72;32). A feltételeknek eleget tevő értékek a (0;5), (0;0), (4;0) és (72;32) pontok által meghatározott négyszög határára és belsejébe esnek. A hasznot megadó lineáris függvény a v tengelyt egy C pontban metszi. A különböző haszon értékekhez különböző egymással párhuzamos egyenesek tartoznak. Akkor kapjuk a legnagyobb hasznot, ha az egyenes a (72;32) metszésponton megy át, vagyis, ha 3,5 tonna vegyiárut és 1,5 tonna papírárut szállít el a konténer.