Kezdőlap


Feladat:	B.4275	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2011/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Konstruktív megoldási módszer, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: B.4275

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenletet, és adjunk mindkét oldalhoz $x$ -et:

\begin{matrix} x^{6} + 2 x^{3, 5} + x & = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{1, 5} + x + 2 x^{0, 5} + 1, \\ {(x^{3} + x^{0, 5})}^{2} & = {(x^{1, 5} + x^{0, 5} + 1)}^{2} . \end{matrix}

\sqrt[]{x}

csak akkor értelmezett, ha

x \geq 0

, ekkor láthatólag a jobb és a bal oldal is legalább 0, és a négyzetfüggvény kölcsönösen egyértelmű, így gyököt vonhatunk:

\begin{matrix} x^{3} + x^{0, 5} = x^{1, 5} + x^{0, 5} + 1, x^{3} - x^{1, 5} - 1 = 0. \end{matrix}

Helyettesítsünk

y = x^{1, 5}

-t:

y^{2} - y - 1 = 0

. A másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2}, y_{2} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

x^{1, 5}

hatványfüggvény akkor értelmezett, ha

x

nemnegatív, ekkor a hatványérték, azaz

y

is nemnegatív. Ez kizárja az első gyököt. A második gyökből:

\begin{matrix} x = {(\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2})}^{2 / 3} \approx 1, 378. \end{matrix}

Ez az egyenlet egyetlen megoldása.