Kezdőlap


Feladat:	B.4269	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás , Damásdi Gábor , Éles András , Janzen Olivér , Mester Márton , Nagy Balázs , Nagy Róbert , Perjési Gábor , Strenner Péter , Szabó Attila , Weisz Gellért , Weisz Ágoston
Füzet:	2011/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Beírt kör, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/április: B.4269

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az 1. ábra jelöléseinek megfelelően legyen az $A B C$ szögfelezőinek metszéspontja $O$ , az $A P C$ háromszög beírt körének középpontja $O_{1}$ , a $B P C$ háromszög beírt köréé pedig $O_{2}$ . Legyen az $A P C$ háromszögbe írt körnek az $A B$ oldallal való érintési pontja $T_{1}$ , a $B P C$ háromszögbe írt körnek pedig ugyancsak az $A B$ oldallal való érintési pontja $T_{2}$ . Így a közös szögfelezők miatt $O_{1}$ rajta van az $A O$ , $O_{2}$ pedig a $B O$ szakaszon. Mivel a két beírt kör sugara egyenlő, $O_{1} T_{1} = O_{2} T_{2}$ , tehát $O_{1} T_{1} O_{2} T_{2}$ téglalap, így $O_{1} O_{2}$ párhuzamos $A B$ -vel. Mivel $O_{1} C$ és $O_{2} C$ szögfelezők,

\begin{matrix} O_{1} C O_{2} ∢ = O_{1} C P ∢ + P C O_{2} ∢ = \frac{1}{2} (A C P ∢ + P C B ∢) = \frac{1}{2} A C B ∢ . \end{matrix}

1. ábra

Így, ha

A C B ∢ = γ

, akkor

O_{1} C O_{2} ∢ = \frac{γ}{2}

.
A

C P

felezi az

O_{1} O_{2}

szakaszt az

F

pontban, hiszen ha

E

és

G

az egyenlő sugarú körök érintési pontjai a

C P

-n, akkor

O_{1} E F ▵ ≅ O_{2} G F ▵

.
Mivel

O_{1} O_{2}

párhuzamos

A B

-vel, az

O A B

és

O O_{1} O_{2}

háromszögek hasonlóak. Van közös csúcsuk,

O

és két közös oldalegyenesük, tehát létezik olyan

O

középpontú nagyítás, amely az

O O_{1} O_{2}

háromszöget pontosan

O A B

-be nagyítja.
Vizsgáljuk meg, hova vinné ez a nagyítás

C

-t. Mivel

C

-ből

\frac{γ}{2}

szögben látszik

O_{1} O_{2}

, így olyan pontba kerülne, ahonnan

\frac{γ}{2}

szögben látszik az

A B

oldal. Azt is tudjuk, hogy rajta maradna a

C

-n átmenő szögfelezőn, mivel

C

is és

O

is rajta van (2. ábra).

2. ábra

Ez a

C'

pont megszerkeszthető a

P

O_{1}

O_{2}

pontok ismerete nélkül is. Tehát megkaphatjuk a nagyítás arányát. Ha megvan az arány, könnyen szerkeszthetjük a

P

pontot.
A szerkesztés menete: Megszerkesztjük a háromszög szögfelezőit. Az

A B

szakasz fölé

\frac{γ}{2}

-vel látókörívet szerkesztünk. Az

O C

félegyenes a látókörívet a

C'

pontban metszi.
Ezután az

O

középpontú,

λ = \frac{O C}{O C'}

arányú kicsinyítéssel megkapjuk az

O_{1}

és

O_{2}

pontokat.
Az

O_{1} O_{2}

szakaszt megfelezve, a felezőpont legyen

F

. Az

O F

egyenes kimetszi az

A B

szakaszból a keresett

P

pontot.
Diszkusszió: Ha az

O_{1}

pont az

O

pontból indulva végighalad az

O A

szakaszon, miközben az

O_{1} O_{2}

egyenes végig párhuzamos az

A B

-vel, az

O_{1} C O_{2} ∢

nagysága szigorúan monoton növekszik nullától

γ

-ig. Így a

\frac{γ}{2}

értéket az

O_{1} O_{2}

szakasznak csak egyetlen helyzetében veszi fel. Ilyenkor a

P

pont mindig szerkeszthető, így minden háromszög esetében pontosan egy ilyen pont van.