Kezdőlap


Feladat:	B.4246	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2011/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: B.4246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Nem nehéz észrevenni, hogy az egyenletnek 1 és $a$ is gyöke. Így a bal oldal szorzattá alakítható az $(x - 1) (x - a)$ kiemelésével:

\begin{matrix} x^{3} - (a + 2) x^{2} + (2 a + 1) x - a = {(x - 1)}^{2} (x - a) . \end{matrix}

Az egyenlet gyökei tehát

1

1

és

a

; a feladatban

x_{1}

és

x_{2}

szerepe azonos lévén két esetet különböztethetünk meg.
1. eset:

x_{3} = 1

. Ekkor a gyökök közt megadott összefüggés szerint

2 + \frac{2}{a} = 3

, azaz

a = 2

, az egyenlet gyökei ekkor

1

1

és

2

.
2. eset:

x_{3} = a

. A gyökök közti összefüggés ezúttal a

2 + 2 = \frac{3}{a}

alakot ölti, azaz

a = \frac{3}{4}

, így az egyenlet gyökei:

1

1

és

\frac{3}{4}