Feladat:	C.1013	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tamás Ádám
Füzet:	2011/január, 12. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Kör egyenlete, Ponthalmazok, Algebrai egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: C.1013

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $x^2+y^2=2$ egy origó középpontú, $\sqrt[]{2}$ sugarú kör egyenlete. Az $x^2+y^2\le 2$ feltételt a sík azon pontjainak koordinátái elégítik ki, amelyek a körön vagy annak belsejében helyezkednek el. Vizsgáljuk meg a másik egyenlőtlenséget, először a jobb oldalát: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{x}{x+y}\le \mathrm{1,}\text{nyilván}x+y\ne \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false"><</mo><mo stretchy="false">-</mo><mi>x</mi></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ akkor }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≥</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>y</mi></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>≤</mo><mn>0</mn></math>,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>0</mn></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo stretchy="false">></mo><mo stretchy="false">-</mo><mi>x</mi></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ akkor }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>y</mi></math>, }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></math>. }}\hfill \end{array}}}\hfill \end{array}}$ Az egyenlőtlenség bal oldala: $\frac{x}{x+y}\ge -1$. Most is vizsgálnunk kell két esetet: Ha $x+y>0$, $y>-x$ akkor $x\ge -x-y$, innen $y\ge -2x$. Ha viszont $x+y<0$, $y<-x$, akkor $y\le -2x$. Ábrázoljuk a kapott pontokat a derékszögű koordináta-rendszerben. A két egyenlőtlenség egyszerre a két körcikk belsejében és határán levő pontokra teljesül az origó kivételével.