Feladat: B.4445 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2013/december, 541 - 543. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Térfogat, Szabályos sokszögek által határolt testek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/április: B.4445

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Egy konvex poliéder tetszőleges élétől tetszőleges másik éléhez eljuthatunk olyan élsorozaton át haladva, amelynek szomszédos tagjai ugyanannak a lapnak az élei; ezért, ha a keresett test létezik, akkor minden éle egységnyi hosszú.
Ha a poliédert alkotó lapok éleinek számát összeadjuk, akkor a poliéder élszámának kétszeresét kapjuk, hiszen a poliéder minden élénél két lap találkozik. Ezért a poliédernek
e=6⋅4+8⋅62=36

éle van. Euler poliédertétele szerint tehát csúcsainak száma c=36+2-14=24. A nyolc darab hatszöglapnak összesen 48 csúcsa van, és semelyik két négyzetnek nincs közös csúcsa, továbbá a poliéder minden csúcsában legalább három lap találkozik, ezért a hatszöglapok közül semelyik háromnak nem lehet közös csúcsa, tehát a poliéder minden csúcsában pontosan egy négyzetlap és két hatszöglap találkozik. Ebből az is következik, hogy mindegyik négyzetlap ugyanakkora szögeket zár be a vele szomszédos négy hatszöglappal, valamint hogy bármely két szomszédos hatszöglap szöge is egyenlő (1. ábra).
 

 
1. ábra
 

Konvex poliéderről lévén szó, ezek a feltételek a testet egybevágóság erejéig egyérteműen meghatározzák.
Egy ilyen testet kapunk akkor, ha egy 3 egység élű szabályos oktaéder minden csúcsánál levágjuk az oktaéderből azt a négyzet alapú gúlát, amelynek alaplapja az adott csúcsból kiinduló négy él csúcshoz közelebbi harmadolópontjai által alkotott négyzet (2. ábra). Az így kapott testnek az eredeti oktaéder minden csúcsánál egy-egy négyzetlapja keletkezik, míg az oktaéder minden eredeti háromszöglapjából egy-egy szabályos hatszög lesz (3‐4. ábra).

2. ábra


3. ábra


4. ábra

A levágott gúlák minden éle egységnyi hosszú, ezért két ilyen kis gúla egy egységnyi élű szabályos oktaéderré illeszthető össze. Ezen kis oktaéderek szemközti csúcsait összekötő testátlói egy-egy egységnégyzet átlói, ezért hosszuk 2 (5. ábra). Bármelyik ilyen testátló merőleges a fennmaradó négy csúcs által meghatározott négyzet síkjára,
 
ezért egy ilyen kis oktaéder térfogata 23.
 
Az eredeti oktaéder térfogata ennek 33=27-szerese, vagyis a feladatunkban szereplő konvex test térfogata
V=27⋅23-3⋅23=82.


 

5. ábra
 

 

Megjegyzések. 1. Az, hogy a keresett poliéder minden csúcsánál pontosan egy négyzetlap és két hatszöglap találkozik, Euler poliédertételének felhasználása nélkül is belátható. Ismert ugyanis, hogy ha egy konvex poliéder valamely csúcsánál összeadjuk a csúcsban találkozó lapoknak az adott csúcsnál lévő szögét, akkor ez az összeg kisebb, mint 360∘. Mivel egy szabályos hatszög minden szöge 120∘, ebből rögtön következik, hogy a hatszöglapok közül semelyik háromnak nem lehet közös csúcsa.
2. A feladatunkban szereplő test az úgynevezett féligszabályos poliéderek családjába tartozik. Azon poliédereket hívjuk így, amelyek csúcsalakzatai egybevágóak, lapjaik pedig szabályos sokszögek, de a szabályos poliéderekkel ellentétben vannak különböző oldalszámú lapjaik (esetünkben négy- és hatszöglapok).