Feladat: B.4449 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Maga Balázs 
Füzet: 2013/május, 289 - 290. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Oszthatóság, Binomiális tétel, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/április: B.4449

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen N=456+654. Célunk, hogy N=2a5bc alakban adjuk meg, ahol c  5-tel és 2-vel sem osztható. Ekkor N annyi 0-ra végződik, amennyi a és b minimuma, hiszen a 10 annyiszor emelhető ki belőle. Innen a feladatot két lépésben fogjuk megoldani.
1. Megmutatjuk, hogy a értéke 625:
N=456+654=256256+254354=231250+26253625=2625(230625+3625).
Itt a második tényező egy páros és egy páratlan szám összege, azaz páratlan, vagyis N prímtényezős felbontásában a 2 kitevője 625.
2. Megmutatjuk, hogy b értéke 5:
N=456+654=(5-1)56+(5+1)54.
 
Ezt a két hatványt felbontva, mindkettőben egyetlen 5-tel nem osztható tag lesz, (-1)56=-1 és 154=1, ezek éppen kiejtik egymást. Nézzük a többi tagot, azt vizsgálván, hogy azokban az 5 milyen kitevőn szerepel.
Először nézzük az első hatvány felbontását. Az előjeltől mostantól tekintsünk el, ez 5-tel való oszthatóság szempontjából nem fontos. Ekkor ilyen formájú tagok jelennek meg: 5n(15625n).
n=0-t már kiejtettük. n>5-re nyilván mindegyik tagból kiemelhető 56.
n=5-re  (15625n)=156251562415623156221562112345. 
A számlálóban 56 szerepel, a nevezőben 51-n, így ebben a törtben 55 a legnagyobb 5-hatvány. Ezt megszorozva 55-nel az 5 kitevője n=5-re 10 lesz. 0<n<5 esetén (15625n) nevezőjében 50 szerepel, számlálójában 56, így ezekre az n-ekre is legalább 6 az 5 kitevője.
Most vizsgáljuk meg a másik hatvány felbontását. Itt a tagok alakja 5n(625n). n=0-t már kiejtettük. n>5-re nyilván minden tagban szerepel 56.
n=5-re  (625n)=62562462362262112345. 
A számlálóban 54, a nevezőben 51-n, így ebben a törtben 53 szerepel. Ezt megszorozva 55-nel az 5 kitevője n=5-re 8 lesz. 0<n<5-re (625n) nevezőjében 50 szerepel, számlálójában 54, így a binomiális együtthatóban 54 szerepel, ezt megszorozva 5n-nel, ahol n2, ezen tagokban az 5 kitevője legalább 6.
n=1-re  5(6251)=3125=55, 
így ez az egyetlen tag, amiben az 5 kitevője kisebb, mint 6, konkrétan 5. N ilyen számok összege, így 55 kiemelhető belőle, a visszamaradt másik tényezőben pedig minden tag osztható lesz 5-tel, kivéve egyetlen tagot, így még egy 5-ös tényező már nem emelhető ki. Tehát valóban az 5 kitevője N prímtényezős felbontásában 5.
Mivel N annyi 0-ra végződik, amennyi a=625 és b=5 minimuma, így N öt darab 0-ra végződik.