A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen . Célunk, hogy alakban adjuk meg, ahol 5-tel és 2-vel sem osztható. Ekkor annyi 0-ra végződik, amennyi és minimuma, hiszen a 10 annyiszor emelhető ki belőle. Innen a feladatot két lépésben fogjuk megoldani. 1. Megmutatjuk, hogy értéke 625: | | Itt a második tényező egy páros és egy páratlan szám összege, azaz páratlan, vagyis prímtényezős felbontásában a 2 kitevője 625. 2. Megmutatjuk, hogy értéke 5: | | Ezt a két hatványt felbontva, mindkettőben egyetlen 5-tel nem osztható tag lesz, és , ezek éppen kiejtik egymást. Nézzük a többi tagot, azt vizsgálván, hogy azokban az 5 milyen kitevőn szerepel. Először nézzük az első hatvány felbontását. Az előjeltől mostantól tekintsünk el, ez 5-tel való oszthatóság szempontjából nem fontos. Ekkor ilyen formájú tagok jelennek meg: . -t már kiejtettük. -re nyilván mindegyik tagból kiemelhető . | | A számlálóban 56 szerepel, a nevezőben 51-n, így ebben a törtben 55 a legnagyobb 5-hatvány. Ezt megszorozva 55-nel az 5 kitevője n=5-re 10 lesz. 0<n<5 esetén (15625n) nevezőjében 50 szerepel, számlálójában 56, így ezekre az n-ekre is legalább 6 az 5 kitevője. Most vizsgáljuk meg a másik hatvány felbontását. Itt a tagok alakja 5n⋅(625n). n=0-t már kiejtettük. n>5-re nyilván minden tagban szerepel 56. | n=5-re (625n)=625⋅624⋅623⋅622⋅6211⋅2⋅3⋅4⋅5. | A számlálóban 54, a nevezőben 51-n, így ebben a törtben 53 szerepel. Ezt megszorozva 55-nel az 5 kitevője n=5-re 8 lesz. 0<n<5-re (625n) nevezőjében 50 szerepel, számlálójában 54, így a binomiális együtthatóban 54 szerepel, ezt megszorozva 5n-nel, ahol n≥2, ezen tagokban az 5 kitevője legalább 6. így ez az egyetlen tag, amiben az 5 kitevője kisebb, mint 6, konkrétan 5. N ilyen számok összege, így 55 kiemelhető belőle, a visszamaradt másik tényezőben pedig minden tag osztható lesz 5-tel, kivéve egyetlen tagot, így még egy 5-ös tényező már nem emelhető ki. Tehát valóban az 5 kitevője N prímtényezős felbontásában 5. Mivel N annyi 0-ra végződik, amennyi a=625 és b=5 minimuma, így N öt darab 0-ra végződik.
|
|