Feladat:	B.4434	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Havasi Márton
Füzet:	2013/május, 288 - 289. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tizes alapú számrendszer, Maradékos osztás, kongruenciák, Euler-Fermat-tételek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: B.4434

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a számunk $x$ és a számjegyeinek száma $n$. Legyen $y$ az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy $x$-nek a számjegyeit fordított sorrendben olvassuk. Mivel $x$ nem osztható 10-zel, $y$ is $n$ jegyű lesz. Tekintsük a ${10}^{n}y$, ${10}^{2n}y$, ${10}^{3n}y$, $\text{...}$ számokat. Ez végtelen sok szám, ezért a skatulya elv miatt végtelen sok olyan van köztük, amely $x$-szel osztva ugyanazt a maradékot adja. Vegyünk ezekből a számokból $2x+1$ darabot, jelölje a legnagyobbat ${10}^{zn}y$. Ha a számok között van ${10}^{an}y$ és ${10}^{\left(z-a\right)n}y$, akkor minden ilyen párból az egyiket elhagyjuk. Ha a számok között megtalálható a ${10}^{\frac{z}{2}n}y$, akkor azt is elhagyjuk. Mivel minden szám csak egy másikkal lehet ilyen kapcsolatban, és a legnagyobb számnak nincs párja, biztosan megmarad legalább $\frac{2x}{2}-1=x-1$ szám a legnagyobbon kívül. Vegyük hozzá a legnagyobbat ehhez az $x-1$ számhoz, majd adjuk össze őket.     1. ábra   Azzal, hogy elhagytuk a számpárokból az egyiket, azt értük el, hogy ebben a számban bármely nem 0 számjegyet tükrözve 0-ba megy át, hiszen ha nem így lenne, akkor a két számjegyhez tartozó számok ilyen tulajdonságú számpárt alkotnának. Ez a szám továbbá osztható $x$-szel, mert $x$ db egyforma maradékot adó szám összege. Ha ezt a számot visszafelé olvassuk, akkor is egy $x$-szel osztható számot kapunk, mert ${10}^{an}y$ helyett ${10}^{\left(z-a\right)n}x$-et fogunk olvasni, ami osztható $x$-szel. Adjuk össze ezt a számot az eredeti számmal. Ez is osztható lesz $x$-szel, mert két $x$-szel osztható szám összege, szimmetrikus is lesz, mert ami az eredeti számban tükrözéssel 0-ba ment át, az most önmagába fog átmenni.     2. ábra   Tehát ezzel a módszerrel valóban előállítható az $x$-nek egy palindrom többszöröse.