A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a számunk és a számjegyeinek száma . Legyen az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy -nek a számjegyeit fordított sorrendben olvassuk. Mivel nem osztható 10-zel, is jegyű lesz. Tekintsük a , , , számokat. Ez végtelen sok szám, ezért a skatulya elv miatt végtelen sok olyan van köztük, amely -szel osztva ugyanazt a maradékot adja. Vegyünk ezekből a számokból darabot, jelölje a legnagyobbat . Ha a számok között van és , akkor minden ilyen párból az egyiket elhagyjuk. Ha a számok között megtalálható a , akkor azt is elhagyjuk. Mivel minden szám csak egy másikkal lehet ilyen kapcsolatban, és a legnagyobb számnak nincs párja, biztosan megmarad legalább szám a legnagyobbon kívül. Vegyük hozzá a legnagyobbat ehhez az számhoz, majd adjuk össze őket.
1. ábra Azzal, hogy elhagytuk a számpárokból az egyiket, azt értük el, hogy ebben a számban bármely nem 0 számjegyet tükrözve 0-ba megy át, hiszen ha nem így lenne, akkor a két számjegyhez tartozó számok ilyen tulajdonságú számpárt alkotnának. Ez a szám továbbá osztható -szel, mert db egyforma maradékot adó szám összege. Ha ezt a számot visszafelé olvassuk, akkor is egy -szel osztható számot kapunk, mert helyett -et fogunk olvasni, ami osztható -szel. Adjuk össze ezt a számot az eredeti számmal. Ez is osztható lesz -szel, mert két -szel osztható szám összege, szimmetrikus is lesz, mert ami az eredeti számban tükrözéssel 0-ba ment át, az most önmagába fog átmenni.
2. ábra Tehát ezzel a módszerrel valóban előállítható az -nek egy palindrom többszöröse.
|
|