Feladat:	B.4433	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pusztaházi Luca Sára
Füzet:	2013/május, 287 - 288. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú egyenletek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: B.4433

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel $x=0$ nem megoldás, eloszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát $x^4$-nel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left[\frac{{\left(1+x\right)}^2}{x}\right]}^4+{\left[\frac{1+x^2}{x}\right]}^4=82.}\end{array}$ Osszunk a zárójeleken belül tagonként $x$-szel: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\left[\frac{1+2x+x^2}{x}\right]}^4+{\left[\frac{1+x^2}{x}\right]}^4}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \mathrm{82,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left[x+\frac{1}{x}+2\right]}^4+{\left[x+\frac{1}{x}\right]}^4}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 82.}\hfill \end{array}}$ Most $x+\frac{1}{x}$ helyett bevezethetjük az $y$ új ismeretlent: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\left(y+2\right)}^4+y^4}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \mathrm{82,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2y^4+8y^3+24y^2+32y-66}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y^4+4y^3+12y^2+16y-33}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 0.}\hfill \end{array}}$ Az együtthatók alapján azonnal adódik, hogy $y=1$ ennek az egyenletnek megoldása, így az $\left(y-1\right)$ gyöktényező kiemelhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^4+4y^3+12y^2+16y-33=\left(y-1\right)\left(y^3+5y^2+17y+33\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A harmadfokú egyenletnek gyöke a $-3$, így a harmadfokú tényezőből $\left(y+3\right)$ kiemelhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^3+5y^2+17y+33=\left(y+3\right)\left(y^2+2y+11\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az eredeti egyenlet tehát $\left(y-1\right)\left(y+3\right)\left(y^2+2y+11\right)=0$ alakba írható. Ez a szorzat csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. A harmadik tényező diszkriminánsa negatív, így csak $y=1$ és $y=-3$ a gyökei ennek az egyenletnek. Tehát a továbbiakban két esetet kell már csak vizsgálnunk. Ha $x+\frac{1}{x}=1$, illetve ha $x+\frac{1}{x}=-3$. Az első esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{1}{x}=\mathrm{1,}{x}^2-x+1=0.}\end{array}$ Ennek az egyenletnek szintén negatív a diszkriminánsa, nincs valós megoldása. Végül vizsgáljuk az $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{1}{x}=-3}\end{array}$ egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+3x+1=\mathrm{0,}{x}_{12}=\frac{-3\pm \sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek valóban megoldásai is az eredeti egyenletnek, tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{-3-\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{,}{x}_2=\frac{-3+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$