Feladat:	B.4431	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2013/május, 287. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Binomiális együtthatók, Indirekt bizonyítási mód, Exponenciális egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: B.4431

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen egy $a+b\sqrt[]{2}$ szám $\left(a\mathrm{,}b\in Z\right)$ konjugáltja az $a-b\sqrt[]{2}$ szám. Két szám konjugáltjának szorzata a szorzat konjugáltja: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-b\sqrt[]{2}\right)\left(c-d\sqrt[]{2}\right)=ac+2bd-bc\sqrt[]{2}-ad\sqrt[]{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ami éppen az $\left(a+b\sqrt[]{2}\right)\left(c+d\sqrt[]{2}\right)$-nek konjugáltja. Innen következik, hogy egy szám konjugáltjának egész kitevős hatványa a megfelelő hatvány konjugáltja. Ezt felhasználva, ha az állítás igaz, akkor abból következően az  $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(5-3\sqrt[]{2}\right)}^n={\left(3-5\sqrt[]{2}\right)}^k}\end{array}$ egyenlőségnek is teljesülnie kell. Mivel $0<5-3\sqrt[]{2}<1$, azért ${\left(5-3\sqrt[]{2}\right)}^n$ abszolút értéke is 1-nél kisebb, tetszőleges pozitív $n$ egészre. Ugyanakkor $3-5\sqrt[]{2}<-1$, emiatt ${\left(3-5\sqrt[]{2}\right)}^k$ abszolút értéke tetszőleges pozitív $k$ egészre 1-nél nagyobb: a két hatvány tehát nem lehet egyenlő, az állításnak megfelelő $n$ és $k$ pozitív egészek nem léteznek.