Feladat:	B.4425	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó Aletta ,  Bingler Arnold ,  Varga Zoltán Attila
Füzet:	2013/május, 284 - 285. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: B.4425

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Nyilván $x\ge 1$. Feltesszük, hogy az egyenlet bal oldala két tag összegének négyzeteként írható fel. Ekkor a kétszeres szorzat csak a $8\left(x+3\right)\sqrt[]{x-1}$ lehet, így a két tag például $\left(x+3\right)$ és $4\sqrt[]{x-1}$. Ellenőrizve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left[\left(x+3\right)-4\sqrt[]{x-1}\right]}^2}& {\displaystyle =x^2+6x+9-8\left(x+3\right)\sqrt[]{x-1}+16x-16=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-8\left(x+3\right)\sqrt[]{x-1}+22x-7.}\hfill \end{array}}$ Tehát feltevésünk igaz, így az egyenletünk $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left[\left(x+3\right)-4\sqrt[]{x-1}\right]}^2=0.}\end{array}$ Ez pontosan akkor igaz, ha $\left(x+3\right)-4\sqrt[]{x-1}=0$, vagyis $\left(x+3\right)=4\sqrt[]{x-1}$. Mindkét oldalt négyzetre emelve és rendezve az egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+6x+9=16x-\mathrm{16,}{x}^2-10x+25=\mathrm{0,}\text{vagyis}{\left(x-5\right)}^2=0.}\end{array}$ Tehát $x=5$. A megoldást az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve igazságot kapunk, így az egyenlet egyetlen megoldása az 5.