Feladat:	B.4423	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kecskés Boglárka
Füzet:	2013/május, 284. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Síkgeometriai szerkesztések, Súlyvonal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: B.4423

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyenek $t\mathrm{,}u$ és $v$ az adott súlyvonalak egyenesei, közös pontjuk, $S$ a súlypont. Először szerkesszünk egy olyan (tetszőleges nagyságú) háromszöget, amelynek ezek a megadott egyenesek a súlyvonal-egyenesei. Ismert, hogy a súlyvonalak harmadolják egymást, és a súlypont a csúcstól kétszer akkora távolságra van, mint az oldalfelező ponttól. A $t$ egyenesen felveszünk az egyik irányban $S$-től egy szakaszt, a másik irányban pedig egy kétszer akkorát. Ezt kétféleképpen tehetjük meg, és ez két, egymásra középpontosan szimmetrikus megoldást fog adni. Ha egyféleképp fölvettük, az egyértelműen meghatározza a másik két egyenesen is, hogy merre van a csúcs és merre az oldal (vagyis az egy- és a kétharmad hosszúságú szakasz). A hosszabbik fölvett szakasz végpontja (a háromszög csúcsa) legyen $A$, a rövidebbiké (az $a$ oldal felezőpontja) $F$. Mivel $F$ felezőpont, erre a pontra tükrözve a $B$ csúcs a $C$-be kerül. $B$ rajta van az $u$ egyenesen, $C$ pedig a $v$-n. Ezért ha $u$-t tükrözzük $F$-re, akkor $v$ és $u\text{'}$ metszéspontja a $C$ lesz. Hasonlóan megkaphatjuk $B$-t is.     Ezt a háromszöget egy $S$ középpontú hasonlósággal ránagyítjuk a megadott pontra. Két megoldás lesz, egy pozitív és egy negatív arányú hasonlóságból is kapunk megfelelő háromszöget, ezek középpontosan szimmetrikusak $S$-re. A két megoldás úgy is adódik, ha csak pozitív arányú hasonlóságot végzünk, de figyelembe vesszük az első lépésnél a két lehetőséget a szakaszok felmérésénél.