Feladat:	B.4421	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás ,  Barna István ,  Di Giovanni Márk ,  Fehér Zsombor ,  Gyarmati Máté ,  Janzer Olivér ,  Kiss Melinda Flóra ,  Maga Balázs ,  Mester Márton ,  Nagy Róbert ,  Schulz Vera Magdolna ,  Strenner Péter ,  Szabó Barnabás
Füzet:	2013/május, 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: B.4421

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle S\left(n\right)=\left(3-7t\right)\cdot 2^n+\left(18t-9\right)\cdot 3^n+\left(6-10t\right)\cdot 4^n\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználjuk Fermat tételét, mely szerint $p\mid a^{p-1}-1$, ahol $p$ prím, $a$ és $p$ pedig egymáshoz relatív prím egészek. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 12\cdot S\left(p-2\right)}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \left(18-42t\right)\cdot 2^{p-1}+\left(72t-36\right)\cdot 3^{p-1}+\left(18-30t\right)\cdot 4^{p-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \left(18-42t\right)\cdot \left(2^{p-1}-1+1\right)+\left(72t-36\right)\cdot \left(3^{p-1}-1+1\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\left(18-30t\right)\cdot \left(4^{p-1}-1+1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \left(18-42t\right)\cdot \left(2^{p-1}-1\right)+\left(72t-36\right)\cdot \left(3^{p-1}-1\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\left(18-30t\right)\cdot \left(4^{p-1}-1\right)+\left(18-42t\right)+\left(72t-36\right)+\left(18-30t\right)\equiv }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv }\hfill & {\displaystyle 18-42t+72t-36+18-30t=0\left(\text{mod}p\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ha $p$ egy 2-től és 3-tól különböző prím, akkor $p\mid 12\cdot S\left(p-2\right)$. Ebből következik, hogy $p\mid S\left(p-2\right)$, tehát $n=p-2$ egy megfelelő választás. Ez $p=3$ esetén is megfelelő: $S\left(1\right)=6-14t+54t-27+24-40t=3$. Tehát minden $p$ páratlan prímszámhoz létezik olyan $n$ szám, amelyre $p\mid S\left(n\right)$, ilyen pl. az $n=p-2$.