Feladat:	B.4420	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Havasi Márton
Füzet:	2013/május, 282 - 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térbeli ponthalmazok távolsága, Téglatest, Tetraéderek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: B.4420

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Két szomszédos kitérő lapátló távolsága egyenlő egyeneseinek a távolságával, mert az a szakasz, amely mindkettőre merőleges és a hossza a távolság, biztosan a téglatesten belülre esik.     Vizsgáljuk meg $EG$, $AF$ és $EG$, $FC$ távolságainak a viszonyát. $d\left(EG\mathrm{,}AF\right)$ megegyezik az $EG$ egyenesnek egy olyan síktól való távolságával, amely tartalmazza $AF$-et és párhuzamos $EG$-vel, mivel a két egyenes kitérő. Hasonlóan $d\left(EG\mathrm{,}FC\right)$ egyenlő az $EG$ egyenesnek egy olyan síktól való távolságával, tartalmazza $FC$-t és párhuzamos $EG$-vel, mivel a két egyenes kitérő. Az $AFC$ sík éppen egy ilyen sík. Tartalmazza $AF$-et, $FC$-t és $AC$-t is, és $AC$ párhuzamos $EG$-vel, ezért a sík is párhuzamos vele. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(EG\mathrm{,}AF\right)=d\left(EG\mathrm{,}AFC\right)=d\left(EG\mathrm{,}FC\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A szomszédos lapokhoz tartozó lapátlók távolsága csak a két laptól függ, szimmetria okokból. Tehát az $ABFE$ laphoz és az $EFGH$ laphoz tartozók távolsága megegyezik az $FBCG$ és az $EFGH$ laphoz tartozók távolságával. Ugyanígy belátható, hogy az $ABFE$ laphoz és az $EFGH$ laphoz tartozók távolsága megegyezik a $EADH$ és az $ABFE$ laphoz tartozók távolságával. Így megvizsgáltuk az összes lehetséges, lényegében különböző lappárhoz tartozó lapátlók távolságát, és mint kiderült, mind egyenlő, azaz nincs legkisebb.