Feladat:	B.4417	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balogh Tamás
Füzet:	2013/április, 224. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: B.4417

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Alakítsuk át az egyenlet jobb oldalát, felhasználva a $\text{sin}\left(x+y\right)=\text{sin}x\text{cos}y+\text{cos}x\text{sin}y$ összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x+\frac{1}{2}\text{cos}x=\text{sin}{}^2\left(x+{45}^{\circ }\right)={\left(\text{sin}x\cdot \text{cos}{45}^{\circ }+\text{cos}x\cdot \text{sin}{45}^{\circ }\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A $\text{sin}{}^2{45}^{\circ }=\text{cos}{}^2{45}^{\circ }=\text{sin}{45}^{\circ }\cdot \text{cos}{45}^{\circ }=(\frac{\sqrt[]{2}}{2}{)}^2=\frac{1}{2}$ kiemelhető, így ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \text{sin}x+\frac{1}{2}\text{cos}x}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{1}{2}\left(\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x+2\text{sin}x\text{cos}x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}x+\frac{1}{2}\text{cos}x}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+2\text{sin}x\text{cos}x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Most rendezzük az egyenletet nullára és alakítsuk a kapott jobb oldali kifejezést szorzattá: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \text{sin}x\text{cos}x-\text{sin}x-\frac{1}{2}\text{cos}x+\frac{1}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \text{sin}x\left(\text{cos}x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\text{cos}x-1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \left(\text{cos}x-1\right)\left(\text{sin}x-\frac{1}{2}\right)=0.}\hfill \end{array}}$ Szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla: $\text{cos}x=1$, vagy $\text{sin}x=\frac{1}{2}$. Így a megoldások: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=k\cdot {360}^{\circ }\mathrm{,}{x}_2={30}^{\circ }+l\cdot {360}^{\circ }\mathrm{,}{x}_3={150}^{\circ }+m\cdot {360}^{\circ }\mathrm{,}k\mathrm{,}l\mathrm{,}m\in \text{Z}\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy mindegyik fenti érték valóban gyöke is az egyenletnek.