|
Feladat: |
B.4416 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Herczeg József , Janzer Barnabás , Janzer Olivér , Kecskés Boglárka , Kovács-Deák Máté , Léránt Cintia , Mester Márton , Mócsy Miklós , Szabó Barnabás , Viharos Andor |
Füzet: |
2013/április,
222 - 223. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Magasságpont, Súlypont, Körülírt kör középpontja |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2012/január: B.4416 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelölje a szerkesztendő háromszög adott csúcsát , másik két csúcsát és , magasságpontját, súlypontját, illetve köréírt körének középpontját rendre , és , a oldal felezőpontját pedig . A továbbiakban feltesszük, hogy , ellenkező esetben nyilván nem oldható meg a feladat.
1. ábra Tudjuk, hogy a súlypont harmadolja a súlyvonalakat, ezért az pont az szakasz -hez közelebbi harmadolópontja. Továbbá az szakaszt is arányban osztja az Euler-egyenes tulajdonságaiból következően. Ennek alapján az és pontok könnyen megszerkeszthetők. Ezek ismeretében pedig a és csúcsok is, mert egyrészt rajta vannak a középpontú, sugarú körvonalon, másrészt pedig az egyenesre merőleges, -en áthaladó egyenesen. Ezeket tehát és két metszéspontja adja. Az így szerkesztett háromszögnek nyilván a körülírt köre. A szerkesztésből következik, hogy az és háromszögek egymáshoz középpontosan hasonlóak, a hasonlóság középpontja az pont, aránya pedig . Ezért párhuzamos -mel, tehát az egyenes -ra is merőleges, amiből következik, hogy a kör húrjának felezőmerőlegese, vagyis a oldal felezőpontja. Mivel harmadolja az szakaszt, megegyezik az háromszög súlypontjával, s mivel a szakaszt is harmadolja, azért az Euler-egyenes tulajdonságaiból következik, hogy a megszerkesztett háromszögnek valóban magasságpontja. A feladat diszkussziója bonyolultabb a szerkesztésnél. Ha az előzőekben leírt szerkesztés során a kör is és az egyenes is egyértelműen megszerkeszthető,akkor pontosan akkor van megoldás, ha az pont a kör belsejébe esik, ami akkor teljesül, ha . A szakasz hosszát kifejezhetjük az , és szakaszok hosszával, mert , illetve súlyvonala az , illetve háromszögnek, ahol az pontnak -re való tükörképe (2. ábra).
2. ábra A háromszög súlyvonalának hosszára vonatkozó, elfajuló esetekben is érvényes (a szokásos jelölésekkel ) képlet alapján
| | Mivel és , ebből rövid számolással adódik, vagyis a feltétel ekvivalens az adott , és pontokra vonatkozó egyenlőtlenséggel. Ha az és pontok egybeesnek, akkor a szerkesztés minden lépése elvégezhető, de az egyenes nem egyértelműen meghatározott. Ekkor és is egybeesik, és az egyenesnek bármely -n áthaladó, -t nem tartalmazó egyenes választható. Így végtelen sok különböző megoldást kapunk (a megszerkesztett háromszögek mindegyikének -nál lévő szöge derékszög). Végül, ha a szerkesztés valamelyik lépése nem végezhető el, akkor nincs megoldás. Ez két fő esetben fordul elő. 1. A kört nem tudjuk megszerkeszteni. Ez akkor következik be, ha egybeesik -val, vagyis ha az pont az szakaszon helyezkedik el és azt arányban osztja. 2. A kör megszerkeszthető, továbbá és metszi egymást, de és egyik metszéspontja az pont. Ez pontosan akkor következik be, ha a szög derékszög, ami pedig pontosan akkor teljesül, ha a vele megegyező nagyságú szög derékszög. |
|