Feladat:	B.4405	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2013/április, 221 - 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: B.4405

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $a+b=0$, akkor $a=b=0$, és az egyenlőtlenség nyilván fennáll. Feltehetjük tehát, hogy $a+b>0$. Ha $a\mathrm{,}b>1$ lenne, akkor $a^3>a^2$ és $b^3>b^2$ alapján, $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3+b^3>a^2+b^2\ge 2ab}\end{array}$ miatt a feltétel nem teljesülne. Tehát $a$ és $b$ közül legalább az egyik nem nagyobb $1$-nél. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy $b\le 1$. Ha $a\le 1$ is fennáll, akkor nyilván $a^3+b^3\le a+b$. Ezt a pozitív $a+b$ mennyiséggel osztva kapjuk, hogy $a^2-ab+b^2\le 1$, ami ekvivalens a bizonyítandó egyenlőtlenséggel. Ha pedig $a>1$, akkor $a^3+b^3=2ab\le a^2+b^2$. Ezt felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle a\left(a-1\right)<a^2\left(a-1\right)=a^3-a^2\le b^2-b^3=b^2\left(1-b\right)\le b\left(1-b\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $a^2+b^2<a+b$ következik. Tehát ebben az esetben is eljutunk az $a^3+b^3<a+b$ egyenlőtlenségre, ahonnan most $a^2+b^2<1+ab$ adódik. A fentiekből az is kiderült, hogy egyenlőség pontosan az $a=b=1$ esetben áll fenn.