|
Feladat: |
B.4395 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Barna István , Havasi Márton , Medek Ákos , Mester Márton , Strenner Péter , Szász Dániel Soma , Viharos Andor |
Füzet: |
2013/április,
218 - 220. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Húrnégyszögek, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2011/november: B.4395 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelölje a négyszög csúcsait negatív körüljárás szerint , , és , szögeit , , és , a beírt négyszög csúcsait pedig , , és . Mivel húrnégyszög, ezért van két olyan szomszédos szöge, melyek egyike sem hegyesszög. Választhatjuk úgy a csúcsok betűzését, hogy teljesüljön. A legkisebb kerületű beírt négyszög keresését az ilyen feladatoknál szokásos tükrözéses módszerrel végezzük, azaz a legrövidebb zárt sokszögvonal meghatározását visszavezetjük két adott pont közti legrövidebb út megkeresésére. Ennek érdekében az négyszöget egymás után három egyenesre tükrözzük. Először a oldal egyenesére tükrözve kapjuk az négyszöget. Ezt a oldal egyenesére tükrözve az négyszöghöz, végül pedig azt a oldal egyenesére tükrözve az négyszöghöz jutunk. A tükrözések során a négyszögbe írt négyszög előbb az , majd az , végül pedig az négyszögbe kerül. Mivel a tengelyes tükrözés távolságtartó, az négyszög kerülete megegyezik az töröttvonal hosszával, ami legalább akkora, mint az szakasz hossza (1. ábra).
1. ábra Megmutatjuk, hogy az szakasz hossza nem függ az pontnak az szakaszon elfoglalt helyzetétől. Az félegyenest -os forgatás viszi a félegyenesbe. Mivel , a félegyenest szögű forgatás viszi át a félegyenesbe, azt -os forgatás viszi az félegyenesbe, amit pedig szögű forgatás visz az félegyenesbe. Ezt -os forgatás viszi a félegyenesbe, amit szögű forgatás visz a félegyenesbe. Végül a félegyenest -os forgatás viszi az félegyenesbe, amit szögű forgatás visz az -be. Mivel húrnégyszög, azért . A forgatások szögeinek összege -nak egész számú többszöröse, ezért az félegyenes iránya megegyezik az félegyenesével, tehát . Vagyis az szakasz hossza megegyezik hosszával, tehát független az pontnak az szakaszon elfoglalt helyzetétől. Ha az szakasz metszi a , és szakaszokat, akkor az , és pontok megválaszthatók úgy, hogy az és pontok rendre ezekkel a metszéspontokkal essenek egybe. Nyilvánvaló, hogy az négyszög kerülete ebben az esetben lesz a lehető legkisebb. Ha viszont ez nem teljesül, akkor az töröttvonal hossza csak úgy lehet a lehető legkisebb, ha valamelyik töréspont csúcspontba esik. Könnyű meggondolni, hogy ekkor azon négyszögek közül, melyeknek csúcsa rögzített, a többi pedig a megfelelő oldalak belsejébe esik, nem lesz legkisebb kerületű, hiszen az ilyen négyszögek kerülete a legrövidebb töröttvonal hosszát tetszőlegesen megközelítheti ugyan, de el nem érheti. Vagyis ha nem található az oldal belsejében a fenti tulajdonsággal rendelkező pont, akkor a feladatnak nincsen megoldása. A megoldhatóságnak tehát nyilvánvalóan szükséges feltétele, hogy az paralelogramma körüljárása is negatív irányú legyen, vagyis hogy az irányított szög a szögnél nagyobb legyen. Az egyenlőszárú háromszögben a -nél lévő szög , tehát . Ehhez hasonló az háromszög, a hasonlóság aránya pedig , vagyis az szakaszt ilyen arányú, szögű forgatva nyújtás viszi az szakaszba. Ezért az háromszög hasonló a háromszöghöz, tehát . Vagyis az feltétel egyenértékű az feltétellel, ami pontosan akkor teljesül, ha , ez pedig mellett pontosan azt jelenti, hogy az háromszög hegyesszögű, azaz körülírt körének középpontja a háromszög belsejében van. Vagyis az négyszög körülírt körének középpontja a négyszög belsejébe esik. Megmutatjuk, hogy ha ez a feltétel teljesül, akkor az szakasz, esetleg a pont érintésével, végig az sokszögön belül halad. Ehhez csak annyit kell ellenőrizni, hogy az szakasz a egyenest a szakaszon metszi, vagyis hogy . Mivel | | ez pontosan akkor áll fenn, ha , ez viszont kezdeti feltevésünk miatt igaz. Hasonlóképpen igazolható az is, hogy a szakasz, esetleg a pont érintésével, végig a sokszögön belül halad, ez ugyanis ekvivalens a feltétellel. Ekkor viszont az pont tetszőleges választása esetén teljesül, hogy az szakasz metszi a , és szakaszok mindegyikét. Összefoglalva tehát, a feladatnak pontosan akkor van megoldása, ha az húrnégyszög körülírt körének középpontja a négyszög belsejébe esik. Ekkor a feladatnak végtelen sok megoldása van, melyek a következő eljárással kaphatók meg. Szerkesszük meg az , , , , és pontokat az 1. ábrának megfelelően. Az szakasz tetszőleges belső pontját kijelölve, az -vel -en át húzott párhuzamos a , , szakaszokat elmetszi az , , pontokban. Innen a , , pontok tükrözésekkel megkaphatók, és így létrejön egy négyszög, ami megoldása a szerkesztési feladatnak (2. ábra).
2. ábra
|
|