Feladat: B.4395 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Tamás ,  Barna István ,  Havasi Márton ,  Medek Ákos ,  Mester Márton ,  Strenner Péter ,  Szász Dániel Soma ,  Viharos Andor 
Füzet: 2013/április, 218 - 220. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Húrnégyszögek, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/november: B.4395

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelölje a négyszög csúcsait negatív körüljárás szerint A, B, C és D, szögeit α, β, γ és δ, a beírt négyszög csúcsait pedig X, Y, Z és V. Mivel ABCD húrnégyszög, ezért van két olyan szomszédos szöge, melyek egyike sem hegyesszög. Választhatjuk úgy a csúcsok betűzését, hogy α,β≥90∘ teljesüljön.
A legkisebb kerületű beírt négyszög keresését az ilyen feladatoknál szokásos tükrözéses módszerrel végezzük, azaz a legrövidebb zárt sokszögvonal meghatározását visszavezetjük két adott pont közti legrövidebb út megkeresésére. Ennek érdekében az ABCD négyszöget egymás után három egyenesre tükrözzük. Először a BC oldal egyenesére tükrözve kapjuk az A'BCD' négyszöget. Ezt a CD' oldal egyenesére tükrözve az A''B'CD' négyszöghöz, végül pedig azt a D'A'' oldal egyenesére tükrözve az A''B''C'D' négyszöghöz jutunk. A tükrözések során a ABCD négyszögbe írt XYZV négyszög előbb az X'YZ'V', majd az X''Y'Z'V'', végül pedig az X'''Y''Z''V'' négyszögbe kerül. Mivel a tengelyes tükrözés távolságtartó, az XYZV négyszög kerülete megegyezik az XYZ'V''X''' töröttvonal hosszával, ami legalább akkora, mint az XX''' szakasz hossza (1. ábra).
 


1. ábra

Megmutatjuk, hogy az XX''' szakasz hossza nem függ az X pontnak az AB szakaszon elfoglalt helyzetétől. Az AB félegyenest 180∘-os forgatás viszi a BA félegyenesbe. Mivel ABC∢=CBA'∢=β, a BA félegyenest 2β szögű forgatás viszi át a BA' félegyenesbe, azt 180∘-os forgatás viszi az A'B félegyenesbe, amit pedig α szögű forgatás visz az A'D' félegyenesbe. Ezt 180∘-os forgatás viszi a D'A' félegyenesbe, amit 2δ szögű forgatás visz a D'A'' félegyenesbe. Végül a D'A'' félegyenest 180∘-os forgatás viszi az A''D' félegyenesbe, amit -α szögű forgatás visz az A''B''-be. Mivel ABCD húrnégyszög, azért 2δ=360∘-2β. A forgatások szögeinek összege 360∘-nak egész számú többszöröse, ezért az A''B'' félegyenes iránya megegyezik az AB félegyenesével, tehát AA''→=BB''→=XX'''→. Vagyis az XX''' szakasz hossza megegyezik AA'' hosszával, tehát független az X pontnak az AB szakaszon elfoglalt helyzetétől.
Ha az XX''' szakasz metszi a BC, CD' és D'A'' szakaszokat, akkor az Y, Z és V pontok megválaszthatók úgy, hogy az Y,Z' és V'' pontok rendre ezekkel a metszéspontokkal essenek egybe. Nyilvánvaló, hogy az XYZV négyszög kerülete ebben az esetben lesz a lehető legkisebb. Ha viszont ez nem teljesül, akkor az XYZ'V''X''' töröttvonal hossza csak úgy lehet a lehető legkisebb, ha valamelyik töréspont csúcspontba esik. Könnyű meggondolni, hogy ekkor azon XYZV négyszögek közül, melyeknek X csúcsa rögzített, a többi pedig a megfelelő oldalak belsejébe esik, nem lesz legkisebb kerületű, hiszen az ilyen négyszögek kerülete a legrövidebb töröttvonal hosszát tetszőlegesen megközelítheti ugyan, de el nem érheti. Vagyis ha nem található az AB oldal belsejében a fenti tulajdonsággal rendelkező X pont, akkor a feladatnak nincsen megoldása.
A megoldhatóságnak tehát nyilvánvalóan szükséges feltétele, hogy az ABB''A'' paralelogramma körüljárása is negatív irányú legyen, vagyis hogy az A''AA' irányított szög a BAA' szögnél nagyobb legyen. Az AA'B egyenlőszárú háromszögben a B-nél lévő szög 360∘-2β=2δ, tehát BAA'∢=90∘-δ. Ehhez hasonló az A''A'D' háromszög, a hasonlóság aránya pedig AD:AB, vagyis az A'A szakaszt ilyen arányú, α szögű forgatva nyújtás viszi az A'A'' szakaszba. Ezért az A''AA' háromszög hasonló a DBA háromszöghöz, tehát A''AA'∢=ABD∢=ACD∢. Vagyis az A''AA'∢>BAA'∢ feltétel egyenértékű az ACD∢>90∘-CDA∢ feltétellel, ami pontosan akkor teljesül, ha DAC∢<90∘, ez pedig α,β≥90∘ mellett pontosan azt jelenti, hogy az ACD háromszög hegyesszögű, azaz körülírt körének középpontja a háromszög belsejében van. Vagyis az ABCD négyszög körülírt körének középpontja a négyszög belsejébe esik.
Megmutatjuk, hogy ha ez a feltétel teljesül, akkor az AA'' szakasz, esetleg a C pont érintésével, végig az ADCB'A''D'A'B sokszögön belül halad. Ehhez csak annyit kell ellenőrizni, hogy az AA'' szakasz a BC egyenest a BC szakaszon metszi, vagyis hogy CAB∢≥A''AB∢. Mivel
A''AB∢=A''AA'∢-BAA'∢=90∘-DAC∢,
ez pontosan akkor áll fenn, ha α=DAC∢+CAB∢≥90∘, ez viszont kezdeti feltevésünk miatt igaz. Hasonlóképpen igazolható az is, hogy a BB'' szakasz, esetleg a D' pont érintésével, végig a BCB'A''B''C'D'A' sokszögön belül halad, ez ugyanis ekvivalens a β≥90∘ feltétellel. Ekkor viszont az X pont tetszőleges választása esetén teljesül, hogy az XX''' szakasz metszi a BC, CD' és D'A'' szakaszok mindegyikét.
Összefoglalva tehát, a feladatnak pontosan akkor van megoldása, ha az ABCD húrnégyszög körülírt körének középpontja a négyszög belsejébe esik. Ekkor a feladatnak végtelen sok megoldása van, melyek a következő eljárással kaphatók meg. Szerkesszük meg az A', B', C', D', A'' és B'' pontokat az 1. ábrának megfelelően. Az AB szakasz tetszőleges X belső pontját kijelölve, az AA''-vel X-en át húzott párhuzamos a BC, CD', D'A'' szakaszokat elmetszi az Y, Z', V'' pontokban. Innen a V', Z, V pontok tükrözésekkel megkaphatók, és így létrejön egy XYZV négyszög, ami megoldása a szerkesztési feladatnak (2. ábra).
 


2. ábra