Kezdőlap


Feladat:	B.4396	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jenei Adrienn
Füzet:	2013/március, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Thalesz tétel és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: B.4396

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a beírt kör középpontját $O$ , az $A$ -ból a $β$ szög felezőjére állított merőleges talppontját $T$ , és érintse a beírt kör a $c$ oldalt $D$ -ben.

Nyilván

O A B ∢ = \frac{α}{2}

O B D ∢ = \frac{β}{2}

. A

T

pontosan akkor illeszkedik az

F G

egyenesre, ha

F G O ∢ = T G O ∢

; ezt látjuk majd be. A

T G O

háromszögnek a

β

szög felezőjére való tükörképe

T D O

, ezért

T G O ∢ = T D O ∢

. A

T O D A

négyszögben

\begin{matrix} A T O ∢ + O D A ∢ = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}, \end{matrix}

ezért

T O D A

húrnégyszög; a köré írt körben a kerületi szögek tétele miatt

T A O ∢ = T D O ∢

. AZ

A T B

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} T A O ∢ = T A B ∢ - \frac{α}{2} = 90^{\circ} - \frac{β}{2} - \frac{α}{2} = \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} T A O ∢ = T D O ∢ = T G O ∢ = \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Hasonlóan

C G O F

is húrnégyszög, hiszen két átellenes szöge

90^{\circ}

; ezért

\begin{matrix} F O G ∢ = 180^{\circ} - F C G ∢ = 180^{\circ} - γ . \end{matrix}

Végül, az

F O G

háromszög egyenlő szárú, vagyis

\begin{matrix} F G O ∢ = \frac{180^{\circ} - (180^{\circ} - γ)}{2} = \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Tehát

T G O ∢ = F G O ∢

, amit bizonyítani akartunk.