Feladat:	B.4379	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Zsombor ,  Fonyó Viktória ,  Janzer Olivér ,  Machó Bónis ,  Mester Márton ,  Szabó Attila
Füzet:	2013/március, 153 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: B.4379

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel a háromszög belső és külső szögfelezői merőlegesek egymásra, azért egy csúcs és a hozzá tartozó két szögfelező köréírt körrel való metszéspontja derékszögű háromszöget alkot. Ebből Thalész tétele miatt következik, hogy a két metszéspont a körön egymással szemben helyezkedik el. A három metszéspont ismeretében tehát megszerkeszthető a körülírt kör, ennek tudatában pedig a belső szögfelezők csúcsoktól különböző metszéspontjai. A kerületi és középponti szögek tétele szerint valamely csúcshoz tartozó belső szögfelezőnek a köréírt körrel való metszéspontja és az azzal szomszédos valamelyik csúcs közti ív középponti szöge az adott szöggel megegyezik. A szokásos jelölésekkel tehát az $A$-hoz és $B$-hez tartozó szögfelező-metszéspontok közti ívhez tartozó középponti szög $\alpha +\beta =\pi -\gamma$, ami alapján $\gamma$ megszerkeszthető. Ha ezt a $\gamma$ középponti szöget a $C$-hez tartozó szögfelező-metszéspontból két irányban felmérjük, a háromszög két csúcsát kapjuk. Valamely más csúcsra is elvégezve a szerkesztést, a háromszög mindhárom csúcsát megkapjuk. A szerkesztés menete tehát (adott a $D$, $E$, $F$ metszéspont): 1. Megszerkesztjük a három adott pont köré írt $k$ kört: nyilván ez lesz a háromszög körülírt köre. 2. Tükrözzük a pontokat a kör $O$ középpontjára, adódik $G$, $H$, $I$, a belső szögfelezők köréírt körrel vett metszéspontja. 3. $DOH\sphericalangle =\pi -GOH\sphericalangle =\pi -\alpha -\beta =\gamma$, tehát a $DH$ szakasz a $\gamma$ középponti szöghöz tartozó húr. A $DH$ szakaszt körzőnyílásba vesszük, és $I$ középponttal kört rajzolunk. A kör kimetszi $k$-ból a háromszög $A$ és $B$ csúcsát. 4. Az $AG$ és $BH$ szögfelezők metszéspontját összekötjük $I$-vel: mivel a szögfelezők egy pontban metszik egymást, ez az egyenes a $C$-ből induló szögfelező két pontján is átmegy, tehát maga a szögfelező, így $k$-ból kimetszi a harmadik csúcsot, $C$-t.   Diszkusszió: Ha mindhárom pont egy félkörön helyezkedik el, tükörképeik, a belső szögfelezők metszéspontjai is egy félkörön fognak elhelyezkedni. Ekkor lesz olyan két metszéspont, amelyek közötti, a harmadikat nem tartalmazó ív hossza nagyobb, mint $\pi$. Mivel ez megegyezik két belső szög összegével, ami kisebb, mint $\pi$, ez ellentmondásra vezet. A háromszög tehát ilyenkor nem szerkeszthető. Nyilván nincs megfelelő háromszög akkor sem, ha a három pont egy egyenesre esik. Megfelelő háromszög minden más esetben létezik, azt a szerkesztés elő is állítja.