Feladat:	C.1123	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Imre Károly (mindkét megoldás)
Füzet:	2013/március, 152. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Kocka, Kombinatorikai leszámolási problémák, Téglatest
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/április: C.1123

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A kockán belül egy téglatestet egyértelműen meghatározhatunk úgy, hogy egy-egy pár, a kocka különböző lappárjaival rendre párhuzamos síkot veszünk fel, melyek áthaladnak a kis kockacukrok megfelelő csúcsain. Mivel a nagy kocka $4\times 4\times 4$-es, egy adott lappárral párhuzamosan 5 különböző megfelelő sík vehető fel; így egy sík-pár $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$-féleképpen választható ki. A kockának három különböző lappárja van, ezekhez pedig egymástól függetlenül választható síkpár, így összesen ${10}^3=1000$ különböző téglatestet határoznak meg a $4\times 4\times 4$-es kockát alkotó kockacukrok.   II. megoldás. Helyezzük el a $4\times 4\times 4$-es kockát egy térbeli koordináta-rendszerbe úgy, hogy a csúcsai rendre az $A\left(0;0;0\right)$, $B\left(4;0;0\right)$, $C\left(4;4;0\right)$, $D\left(0;4;0\right)$, $E\left(0;0;4\right)$, $F\left(4;0;4\right)$, $G\left(4;4;4\right)$ és $H\left(0;4;4\right)$ pontok legyenek. Ekkor egy téglatestet egy testátlójának két végpontjával határozhatunk meg. Számoljuk össze, hány testátló-vektort vehetünk fel (jelen esetben két vektort akkor tekintünk különbözőnek, ha nem egyezik meg a kezdő- és a végpontjuk is, tehát adott esetben azonos hosszúságú és irányú vektorok is különbözőnek tekintendők). Egy vektor pontosan akkor lesz testátló-vektor, ha a kezdő- és végpontjának egyik koordinátája sem egyezik meg. Az általunk vizsgált pontok mindhárom koordinátája csak 0, 1, 2, 3 vagy 4 lehet, így összesen $5^3=125$ pontot vizsgálunk. Egy adott ponthoz $4^3=64$ olyan megfelelő pont rendelhető, amellyel testátló-vektort alkot. Összesen tehát $125\cdot 64=8000$ különböző testátló-vektort vettünk fel. Egy téglatestnek 4 testátlója van, és ezek mindegyike kétféle irányítással vehető fel vektorként; így mindegyik téglatestet nyolcszor számoltuk össze. Ezért összesen $\frac{8000}{8}=1000$ különböző, a feladatnak megfelelő téglatestet határoznak meg a kockacukrok.