Feladat:	C.1106	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rónai Máté
Füzet:	2013/március, 149 - 150. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Függvényvizsgálat, Gyökös függvények, Másodfokú függvények, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: C.1106

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x^2+4x+4}-a}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(x+2\right)}^2}-a=|x+2|-a=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+2-a\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }-2\le x\le \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left(x+2\right)-a\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<-2.}\hfill \end{array}}}\hfill \end{array}}$ $x^2-4x+a={\left(x-2\right)}^2-4+a$, ha $x>0$. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x-2\right)}^2-4+a\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x>\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+2-a\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }-2\le x\le \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left(x+2\right)-a\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<-2.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ábrázoljuk a függvényt $a=0$ esetén:     Nézzük meg $f\left(x\right)$ zérushelyeinek számát az $a$ paramétertől függően az $x\le 0$, illetve az $x>0$ intervallumon. A függvény képe az $x\le 0$ intervallumon $a$-val az $y$ tengely mentén lefelé, míg az $x>0$ intervallumon $a$-val felfelé tolódik. Ennek alapján   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> értéke }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ zérushelyek száma az <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>0</mn></math> intervallumon}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>a</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> értéke }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ zérushelyek száma az <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>0</mn></math> intervallumon}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≤</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A két táblázat szerint a zérushelyek száma az $a$ paramétertől függően:   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> értéke }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ zérushelyek száma }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>a</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$