Feladat:	B.4428	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Barna István ,  Bingler Arnold ,  Bősze Zsuzsanna ,  Fehér Zsombor ,  Forrás Bence ,  Gyarmati Máté ,  Janzer Barnabás ,  Janzer Olivér ,  Katona Dániel ,  Kovács-Deák Máté ,  Kúsz Ágnes ,  Maga Balázs ,  Makk László ,  Mester Márton ,  Ódor Gergely ,  Sagmeister Ádám ,  Schwarz Tamás ,  Somogyvári Kristóf ,  Szabó Attila ,  Szabó Barnabás ,  Viharos Andor ,  Weisz Ambrus ,  Zilahi Tamás
Füzet:	2013/február, 94 - 95. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Körülírt kör, Hozzáírt körök, Feuerbach-kör, Szinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/február: B.4428

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait és szögeit a szokásos módon $A$, $B$, $C$, illetve $\alpha$, $\beta$, $\gamma$-val, a beírt kör középpontja legyen $O$, a hozzáírt körök középpontjai pedig $O_A$, $O_B$ és $O_C$. Tudjuk, hogy a beírt kör középpontja a három belső, a hozzáírt körök középpontjai pedig két külső és egy belső szögfelező metszéspontjai. Mivel egy háromszög bármely csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra, $A{O}_A\perp O_B{O}_C$, $B{O}_B\perp O_A{O}_C$ és $C{O}_C\perp O_B{O}_A$. Tehát az $A{O}_A$, $B{O}_B$ és $C{O}_C$ szakaszok az $O_A{O}_B{O}_C$ háromszög magasságszakaszai, így az $A$, $B$ és $C$ pontok e háromszög magasságvonalainak talppontjai, vagyis a rajtuk átmenő kör (ami egyúttal az $ABC$ háromszög körülírt köre) az $O_A{O}_B{O}_C$ háromszög Feuerbach-köre. Ismert, hogy bármely háromszög Feuerbach-körének sugara éppen fele a háromszög köré írható kör sugarának, ezért az $O_A{O}_B{O}_C$ háromszög köré írható kör sugara $R=2$ egység.     A hozzáírt körök középpontjainak szimmetrikus szerepe miatt nyilván elegendő azt meghatároznunk, hogy az $O_A{O}_B$ távolság milyen értékeket vehet fel. Az általánosított szinusztétel szerint $O_A{O}_B=2R\text{sin}{O}_B{O}_C{O}_A\sphericalangle$, ezért az $O_B{O}_C{O}_A\sphericalangle$ lehetséges értékeit kell meghatároznunk. Mivel   $\begin{array}{c}{\displaystyle AB{O}_C\sphericalangle =O_{B}B{O}_C\sphericalangle -O_{B}BA\sphericalangle ={90}^{\circ }-OBA\sphericalangle ={90}^{\circ }-\frac{\beta }{2}\mathrm{,}}\end{array}$   és ugyanígy kapjuk, hogy $BA{O}_C\sphericalangle ={90}^{\circ }-\alpha /2$,   ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle O_B{O}_C{O}_A\sphericalangle }& {\displaystyle =A{O}_{C}B\sphericalangle ={180}^{\circ }-\left(AB{O}_C\sphericalangle +BA{O}_C\sphericalangle \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={180}^{\circ }-\left(\left({90}^{\circ }-\frac{\beta }{2}\right)+\left({90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)\right)=\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   Vagyis   $\begin{array}{c}{\displaystyle O_A{O}_B=4\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{.}}\end{array}$   Az $ABC$ háromszögben a $\gamma$ szög tetszőleges $0^{\circ }$ és ${180}^{\circ }$ közti értéket felvehet, ezért $\left(\alpha +\beta \right)/2$ tetszőleges szög lehet $0^{\circ }$ és ${90}^{\circ }$ közt, vagyis szinusza tetszőleges $0$ és $1$ közti értéket felvehet. Tehát az egységsugarú körbe írt háromszög két hozzáírt köre középpontjának távolsága $0$-nál nagyobb, de $4$-nél kisebb, a háromszög megfelelő választásával pedig elérhető, hogy ha $0<d<4$ tetszőleges érték, akkor legyen két olyan hozzáírt köre a háromszögnek, amelyek középpontjainak távolsága éppen $d$.