|
Feladat: |
B.4428 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Ágoston Tamás , Barna István , Bingler Arnold , Bősze Zsuzsanna , Fehér Zsombor , Forrás Bence , Gyarmati Máté , Janzer Barnabás , Janzer Olivér , Katona Dániel , Kovács-Deák Máté , Kúsz Ágnes , Maga Balázs , Makk László , Mester Márton , Ódor Gergely , Sagmeister Ádám , Schwarz Tamás , Somogyvári Kristóf , Szabó Attila , Szabó Barnabás , Viharos Andor , Weisz Ambrus , Zilahi Tamás |
Füzet: |
2013/február,
94 - 95. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Körülírt kör, Hozzáírt körök, Feuerbach-kör, Szinusztétel alkalmazása |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2012/február: B.4428 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait és szögeit a szokásos módon , , , illetve , , -val, a beírt kör középpontja legyen , a hozzáírt körök középpontjai pedig , és . Tudjuk, hogy a beírt kör középpontja a három belső, a hozzáírt körök középpontjai pedig két külső és egy belső szögfelező metszéspontjai. Mivel egy háromszög bármely csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra, , és . Tehát az , és szakaszok az háromszög magasságszakaszai, így az , és pontok e háromszög magasságvonalainak talppontjai, vagyis a rajtuk átmenő kör (ami egyúttal az háromszög körülírt köre) az háromszög Feuerbach-köre. Ismert, hogy bármely háromszög Feuerbach-körének sugara éppen fele a háromszög köré írható kör sugarának, ezért az háromszög köré írható kör sugara egység.
A hozzáírt körök középpontjainak szimmetrikus szerepe miatt nyilván elegendő azt meghatároznunk, hogy az távolság milyen értékeket vehet fel. Az általánosított szinusztétel szerint , ezért az lehetséges értékeit kell meghatároznunk. Mivel | | és ugyanígy kapjuk, hogy ,
Vagyis Az háromszögben a szög tetszőleges és közti értéket felvehet, ezért tetszőleges szög lehet és közt, vagyis szinusza tetszőleges és közti értéket felvehet. Tehát az egységsugarú körbe írt háromszög két hozzáírt köre középpontjának távolsága -nál nagyobb, de -nél kisebb, a háromszög megfelelő választásával pedig elérhető, hogy ha tetszőleges érték, akkor legyen két olyan hozzáírt köre a háromszögnek, amelyek középpontjainak távolsága éppen .
|
|