Feladat:	B.4418	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Dinev Georgi ,  Fehér Zsombor ,  Gyarmati Máté ,  Havasi Márton ,  Janzer Olivér ,  Jávorszky Natasa ,  Kiss Melinda Flóra ,  Maga Balázs ,  Medek Ákos ,  Mester Márton ,  Nagy Anna Noémi ,  Nagy Róbert ,  Nagy-György Pál ,  Strenner Péter ,  Szabó Barnabás ,  Szabó Bence ,  Tossenberger Tamás ,  Zsíros Ádám
Füzet:	2013/február, 92. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Pont körüli forgatás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: B.4418

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje a $\overrightarrow{v}$ vektor $+{60}^{\circ }$-os elforgatottját ${\overrightarrow{v}}_{60}$, $+{120}^{\circ }$-os elforgatottját ${\overrightarrow{v}}_{120}$. Először megmutatjuk, hogy $\overrightarrow{AH}={\overrightarrow{AG}}_{60}$, azaz ${\overrightarrow{AG}}_{60}-\overrightarrow{AH}=0$. Legyen $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a\phantom{b}}$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{b}$ és $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{c\phantom{b}}$. Ekkor $\overrightarrow{AB}={\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}$, $\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{b}}_{60}$ és $\overrightarrow{CA}={\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{60}$, $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a\phantom{b}}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$     Felhasználva, hogy ${\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{120}={\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}-\overrightarrow{a\phantom{b}}$, illetve $-{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{120}=\overrightarrow{c\phantom{b}}-{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{60}$:   ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\overrightarrow{AG}}_{60}}& {\displaystyle =\frac{{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{120}+{\overrightarrow{b}}_{60}+{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}}{2}=\frac{{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}-\overrightarrow{a\phantom{b}}+{\overrightarrow{b}}_{60}+{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}}{2}=\frac{2{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}-\overrightarrow{a\phantom{b}}+{\overrightarrow{b}}_{60}}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{AH}}& {\displaystyle =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AF}}{2}=\frac{{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}+\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{120}}{2}=\frac{{\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c\phantom{b}}-{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{60}}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\overrightarrow{AG}}_{60}-\overrightarrow{AH}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}+{\overrightarrow{b}}_{60}+{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{60}-\overrightarrow{a\phantom{b}}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c\phantom{b}}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   ${\overrightarrow{a\phantom{b}}}_{60}+{\overrightarrow{b}}_{60}+{\overrightarrow{c\phantom{b}}}_{60}=0$, mert az $ABC$ háromszög oldalaiként zárt láncot alkotnak. De ekkor ugyanez igaz $-{60}^{\circ }$-os elforgatottjaikra is: $\overrightarrow{a\phantom{b}}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c\phantom{b}}=0$. Így ${\overrightarrow{AG}}_{60}-\overrightarrow{AH}=0$. Mivel $AH$ az $AG$, $AF$ az $AC$ szakasz $+{60}^{\circ }$-os elforgatottja, ezért az $AHF▵$ az $AGC▵$  $+{60}^{\circ }$-os elforgatottja, így $AGC\sphericalangle =AHF\sphericalangle$. Hasonlóan belátható, hogy a $BIC▵$ az $BHE▵$  $+{60}^{\circ }$-os elforgatottja, és emiatt $BHE\sphericalangle =BIC\sphericalangle$.   $\begin{array}{c}{\displaystyle AHB\sphericalangle +BIC\sphericalangle +CGA\sphericalangle =AHB\sphericalangle +BHE\sphericalangle +AHF\sphericalangle ={180}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$   Ezt kellett bizonyítani.