Feladat:	B.4407	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schwarcz Tamás
Füzet:	2013/február, 89 - 90. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/december: B.4407

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Először azt nézzük meg, hogy $[\frac{x}{k}]=[\frac{x}{k+1}]=n$-nek adott $n$ nemnegatív egész számra hány (nemnegatív egész) megoldása van. $\frac{x}{k}$-nak, illetve $\frac{x}{k+1}$-nek akkor lesz az egészrésze $n$, ha mindkettő legalább $n$, és mindkettő kisebb $\left(n+1\right)$-nél. Nemnegatív számokról lévén szó $\frac{x}{k+1}\le \frac{x}{k}$,   így pontosan akkor lesz $[\frac{x}{k}]=[\frac{x}{k+1}]=n$, ha $n\le \frac{x}{k+1}$ és $\frac{x}{k}<n+1$. $n\le \frac{x}{k+1}$ pontosan akkor teljesül, ha $n\left(k+1\right)\le x$. Hasonlóan, $\frac{x}{k}<n+1$ akkor teljesül, ha $x<k\left(n+1\right)$, azaz ‐ mivel $x$ egész ‐ $k\left(n+1\right)-1\ge x$. Így $[\frac{x}{k}]=[\frac{x}{k+1}]=n$ szükséges és elégséges feltétele $\begin{array}{c}{\displaystyle n\left(k+1\right)\le x\le k\left(n+1\right)-1.}\end{array}$ Ennek az $n\left(k+1\right)$-től $k\left(n+1\right)-1$-ig terjedő egész számok a megoldásai, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k\left(n+1\right)-1\right)-n\left(k+1\right)+1=k-n}\end{array}$ megoldás van. Végül számoljuk össze, hogy ez összesen hány megoldást jelent. Az $n$ legalább $0$ és kisebb mint $k$. Az $n=0$-ra $k$ megoldás van, $n=1$-re $k-1$, $\text{...}$, végül $n=\left(k-2\right)$-re $2$, $n=\left(k-1\right)$-re pedig 1 megoldás adódik; így összességében a megoldások száma 1-től $k$-ig az egész számok összege, vagyis $\frac{k\left(k+1\right)}{2}$.