|
Feladat: |
B.4406 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bősze Zsuzsanna , Di Giovanni Márk , Fehér Zsombor , Forrás Bence , Győrfi Mónika , Janzer Barnabás , Janzer Olivér , Jávorszky Natasa , Maga Balázs , Mester Márton , Nagy Róbert , Nagy-György Pál , Strenner Péter , Szabó Attila , Szabó Barnabás , Szilágyi Krisztina , Tossenberger Tamás , Viharos Andor , Zilahi Tamás |
Füzet: |
2013/február,
87 - 89. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenes, Egyenesek egyenlete, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2011/december: B.4406 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy annak tengelye az , az tengelye az egyenes legyen, az egységet pedig válasszuk úgy, hogy a pont mindkét koordinátája 1 legyen. Ha , ahol , akkor az egyenes egyenlete , vagyis az pont koordinátái . Hasonlóképpen ha , akkor a egyenes egyenlete , a pont koordinátái pedig , ahol . Továbbá is teljesül, mert és különböző egyenesek.
1. ábra Ha és valamelyike 0, akkor az metszéspont az origó. Ha , akkor az és egyenesek egyenlete a tengelymetszeteikből egyszerűen felírható.
Ha , azaz , akkor a két egyenes párhuzamos. Ha , akkor létezik metszéspontjuk, és az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy | | ami azt jelenti, hogy mindig rajta van az egyenletű egyenesen, ami az és egyenesek másik szögfelezője. Megmutatjuk, hogy az egyenes minden pontja előáll alakban. Az origóról már láttuk, hogy a mértani helyhez tartozik. Ezért elegendő azt meggondolnunk, hogy és megfelelő választásával még az , feltételek mellett is tetszőleges értéket felvehet, ami nyilvánvaló. A keresett mértani hely tehát az és egyenesek két szögfelezője közül a pontot nem tartalmazó teljes szögfelező egyenes.
II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett mértani hely az és egyenesek másik szögfelezője. Jelöljük -rel az és egyenesek pontot tartalmazó szögfelezőjét, -sel pedig a két egyenes másik szögfelezőjét. Legyen az ponton átmenő -gyel párhuzamos egyenes, továbbá legyen , , és . Az , , és egyenesek lehetséges helyzetétől függően az pont az és szakaszok közül egyiknek sem (2. ábra), pontosan egynek (3. ábra), vagy mindkettőnek (4. ábra) belső pontja. Következő állításaink mindhárom esetben érvényesek.
2. ábra
3. ábra 4. ábra Mivel és párhuzamosak, a és a háromszögek, valamint a és a háromszögek is hasonlóak, mert megfelelő szögeik megegyeznek. Tehát a háromszögek megfelelő oldalainak aránya is egyenlő, azaz | | (1) | Alkalmazzuk az háromszögre és a pontra Ceva tételének általánosítását. Mivel az , és egyenesek mindegyike átmegy -n, ezért | | amiből felhasználva az (1) egyenlőségeket, kapjuk, hogy . Ez viszont azt jelenti, hogy az és háromszögek egybevágóak, mert megegyezik két-két oldaluk és az azok által bezárt szög (hiszen a egyenes definíciója miatt .) Vagyis , tehát rajta van az egyenesen. Megmutatjuk, hogy az egyenes tetszőleges pontja előáll alakban megfelelően választott és egyenesek esetén. Először legyen egy rögzített, -n átmenő, -t -ben metsző egyenes, és . Ekkor a -n átmenő egyenest választva -nek, az pont éppen lesz. Ez az előállítás nem működik, ha és párhuzamosak, valamint akkor sem, ha . Ezt a két pontot úgy tudjuk előállítani alakban, ha megváltoztatjuk az elsőnek felvett egyenest. Ezzel elérhetjük, hogy az új egyeneshez tartozó két ,,rossz'' pont különbözzön az első egyeneshez tartozó rossz pontoktól.
|
|