Kezdőlap


Feladat:	C.1058	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Márki Gabriella
Füzet:	2013/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Háromszög területe, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Kör egyenlete
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/december: C.1058

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög két rögzített csúcsa legyen $A$ és $B$ . Helyezzük el a háromszöget a koordinátarendszerben, mégpedig úgy, hogy $A$ és $B$ legyen az $x$ tengelyen, az $A$ és $B$ által meghatározott szakasz felezőmerőlegese legyen az $y$ tengely.

A

pont koordinátái

A (- \frac{c}{2}; 0)

, a

B

pont koordinátái

B (\frac{c}{2}; 0)

a harmadik,

C

csúcs koordinátái

C (x; y)

A feltétel szerint

\begin{matrix} {(x + \frac{c}{2})}^{2} + y^{2} + c^{2} + {(| x - \frac{c}{2} |)}^{2} + y^{2} = \pm 4 c y . \end{matrix}

Végezzük el a kijelölt műveleteket:

\begin{matrix} x^{2} + c x + \frac{c^{2}}{4} + y^{2} + c^{2} + x^{2} - c x + \frac{c^{2}}{4} + y^{2} = \pm 4 c y . \end{matrix}

Innen

x^{2} + {(y \pm c)}^{2} = (\frac{c}{2})^{2}

. Ez pedig két körnek az egyenlete. A két kör egymás tükörképe az

x

tengelyre, középpontjaik koordinátái:

(0; c)

, illetve

(0; - c)

, és mindkettőnek a sugara

\frac{c}{2}

.
A kör definíciójából következik, hogy kerületének minden pontja eleme a mértani helynek.