Feladat:	C.1024	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kiss Attila Soma
Füzet:	2013/január, 22 - 23. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Polinomok szorzattá alakítása, Függvényvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/február: C.1024

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $p\left(x\right)$ függvény nem lehet konstans. Indirekt tegyük fel, hogy a $p\left(x\right)$ konstans. Mivel zérushelye van, azért csak a $p\left(x\right)\equiv 0$ lehet, ekkor $q\left(x\right)=p\left(x+1\right)\equiv 0$ ugyan páros, de nincs lokális maximumhelye a feltétellel ellentétben. Így igazoltuk, hogy $p\left(x\right)$ nem lehet konstans. A $p\left(x\right)$ függvény zérus- és egyben minimum helyei az $x_1=-3$, és $x_2=5$. A két gyök ismeretében felírhatjuk a gyöktényezős alakját: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-5\right)\left(a{x}^2+bx+c\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a $p\left(x\right)$ függvénynek két minimum helye van, azért legalább negyedfokú. Másodfokú és harmadfokú nem lehet, mert ezeknek legfeljebb egy minimumhelye van. Ebből következik, hogy $a\ne 0$. Írjuk fel a $q\left(x\right)=p\left(x+1\right)$ polinomot: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle q\left(x\right)=p\left(x+1\right)}& {\displaystyle =\left[a{\left(x+1\right)}^2+b\left(x+1\right)+c\right]\left(x+1+3\right)\left(x+1-5\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(a{x}^2+\left(2a+b\right)x+a+b+c\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left[a{x}^2+\left(2a+b\right)x+a+b+c\right]\left(x^2-16\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy a $p\left(x+1\right)$ polinom páros, amiből következik, hogy az $x_0$ gyökkel együtt a $-x_0$ is gyöke, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle a{x}^2+\left(2a+b\right)x+a+b+c=a\left(x^2-x_0^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és innen $2a+b=0$, $q\left(x\right)=a\left(x^2-x_0^2\right)\left(x^2-16\right)$. A feltétel szerint   a $q\left(x\right)$-nek $\pm 4$ minimumhelye is; ez csak úgy lehet, hogy $x_0=\pm 4$, így $q\left(x\right)=a{\left(x^2-16\right)}^2$. Ennek $x=0$-ban van lokális maximum helye, ezért a lokális maximumának értéke $256=q\left(0\right)=a\cdot {16}^2$, azaz $a=1$. A keresett $p\left(x\right)$ polinom pedig a következő: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle p\left(x\right)}& {\displaystyle =q\left(x-1\right)={\left[\left(x+3\right)\left(x-5\right)\right]}^2={\left(x^2-2x-15\right)}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^4-4x^3-26x^2+60x+225.}\hfill \end{array}}$