A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az állítás igaz. Ennek bizonyításához először két segédtételt látunk be.
1. Bármely háromszög tetszőleges belső pontja esetén fennáll az egyenlőtlenség. Azaz a háromszög belső pontját valamely csúccsal összekötő szakasz rövidebb, mint a háromszög adott csúcsból induló hosszabbik oldala.
Bizonyítás. Legyen az és egyenesek metszéspontja (1. ábra). Ekkor , és mivel a szakasz belső pontja, azért az és szögek összege , tehát a két szög közül legalább az egyik legalább . Ekkor viszont az vagy a háromszögben ez a szög a legnagyobb. Mivel bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, ez azt jelenti, hogy és szakaszok közül valamelyik biztosan nagyobb, mint .
1. ábra 2. ábra
2. Bármely tetraéder tetszőleges belső pontja esetén fennáll az egyenlőtlenség. Azaz a tetraéder belső pontját valamely csúccsal összekötő szakasz rövidebb, mint a tetraéder adott csúcsból induló leghosszabb éle.
Bizonyítás. Legyen az egyenes és a sík döféspontja . Ekkor és a háromszög belső pontja. Ezért a egyenes is valamely belső pontban metszi a tetraéder élét (2. ábra). Az 1. állítást először az , majd pedig az háromszögre alkalmazva kapjuk, hogy | | ami éppen a bizonyítandó állítás.
Eredeti feladatunk a 2. állítást felhasználva már könnyen megoldható. Jelölje az szabályos tetraéder élhosszát. Ekkor tetszőleges belső pont esetén , és ugyanígy kapjuk azt is, hogy és . Vagyis ami éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.
Megjegyzés. A konvex halmazok tulajdonságait felhasználva a 2. állítást egyszerűbben is bizonyíthatjuk: Rajzoljuk meg az középpontú sugarú gömböt. A tetraéder másik három csúcsa vagy felületére illeszkedik, vagy pedig a belsejében van. Tehát a gömbtest, mely egy konvex alakzat, tartalmazza a csúcsok konvex burkát is, ami a teljes tetraéder. Ezért a tetraéder minden belső pontja egyúttal a gömbnek is belső pontja. Vagyis .
|
|