Feladat: B.4332 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Csaba 
Füzet: 2011/december, 532. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Logikai feladatok, Feladat, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/február: B.4332

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy létezik megfelelő számozás. Jelölje S az egyes lapok szomszédaira írt számok összegét. Tekintsük ezt a 12 darab öttagú összeget. Minden lapnak pontosan öt szomszédja van, ezért minden egyes lapra felírt szám a 12 szóban forgó összeg közül pontosan ötben szerepel összeadandóként. Ezért 12⋅S megegyezik a dobódodekaéder lapjaira írt számok összegének ötszörösével.

 
 

A lapokra írt számok összege 1+2+...+12=78, tehát fennáll a 12⋅S=5⋅78 egyenlőség. Ebből viszont azt kapjuk, hogy S=65/2, ami nem egész szám, tehát nem lehet öt darab egész szám összege. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy nem létezik a dodekaéder lapjainak a feltételeknek eleget tevő számozása.
II. megoldás. Ismét indirekt bizonyítunk. A dodekaéder minden oldalának van egy szemközti párja. Bármely lap esetén a lap, az öt szomszédja, a szemközti lap és annak az öt szomszédja együtt kiadja a dodekaéder 12 lapját. Ezért ha a dodekaéderre írt számok összegéből, 78-ból levonjuk a feltételek szerint bármely lap szomszédaira írt számok S-sel jelölt összegének kétszeresét, akkor megkapjuk a két szemközti lapra írt szám összegét. Vagyis a jól kitöltött dobódodekaéderre (ugyanúgy, mint a jó dobókockára) teljesül, hogy bármely két szemközti lapjára írt számok összege megegyezik.
Mivel hat szemközti lappár van, ez az összeg 78/6=13. Ez viszont azt jelenti, hogy bármely szemközti lappár esetén az öt-öt szomszédjukra írt számok összege 78-13=65, ami páratlan. Ezért a két szemközti lap szomszédaira írt számok összege nem egyezhet meg. Vagyis nem létezik a dobódodekaédernek jó számozása.