A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az , , számok (módosított) kanonikus alakja: | |
A módosított kanonikus alakon azt értjük, hogy mindhárom szám ugyanazokat a prímeket tartalmazza úgy, hogy amelyik ténylegesen nem szerepelne a felbontásban, azt kitevővel vesszük be a szorzatba. Ezzel elérjük, hogy a számok egységesen kezelhetők. Jelöljük a prímhez tartozó kitevők közül a legkisebbet -vel, a középsőt -vel, a legnagyobbat pedig -vel. Világos, hogy . Ismert, hogy a legnagyobb közös osztóban mindegyik prím az előforduló legkisebb kitevőn, míg a legkisebb közös többszörösben az előforduló legnagyobb kitevőn szerepel. (Természetesen ebben az egységes jelölésben.) A páronkénti legnagyobb közös osztó meghatározásakor tetszőleges prím esetében megmarad a legkisebb kitevő kétszer és a középső egyszer. Ha ennek a háromnak vesszük a maximumát, akkor éppen -t kapjuk. Vegyük most páronként a legkisebb közös többszörös kitevőit a prím esetében. Itt a legnagyobb marad meg kétszer és a középső egyszer. Ha vesszük a három pár legnagyobb közös osztóját, akkor ott e három közül a legkisebbet kell vennünk, vagyis a középsőt -t. Az elmondottak tetszőleges hatványaira igazak, vagyis | | valóban teljesül.
|
|