Feladat:	B.4456	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Havasi Márton
Füzet:	2013/november, 474 - 475. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Függvények, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: B.4456

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy valamely $0<a<b$-re $f\left(a\right)$ nem egyenlő $f\left(b\right)$-vel. Keressünk olyan $x$, $y$ számpárt, melyre $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[]{xy}\mathrm{,}\text{valamint}b=\frac{x+y}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Kifejezzük $x$-et és $y$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{a^2}{y}\mathrm{,}b=\frac{\frac{a^2}{y}+y}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle 2by=a^2+y^2\mathrm{.}}\end{array}$ A megoldóképlet alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{2b\pm \sqrt[]{4b^2-4a^2}}{2}=b\pm \sqrt[]{b^2-a^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A kisebb megoldás is pozitív lesz, mert egyrészt $a<b$, másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<b^2-a^2<b^2\mathrm{,}\sqrt[]{b^2-a^2}<b\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $y=b+\sqrt[]{b^2-a^2}$ és $x=b-\sqrt[]{b^2-a^2}$ választással $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(a\right)=f\left(\sqrt[]{xy}\right)\ne f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f\left(b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ellentmondásra jutottunk, tehát az $f$ függvény valóban konstans.