Feladat:	B.4453	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schwarcz Tamás
Füzet:	2013/november, 473 - 474. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Logikai feladatok, Algebrai átalakítások, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/május: B.4453

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A síkok elhelyezkedése szerint három eset lehetséges: I. A három sík mindegyike $T$ ugyanazon lapjával párhuzamos. Ekkor négy téglatest keletkezik, vagyis ez nyilván nem lehetséges. II. A három sík közül kettő $T$ ugyanazon lapjával, a harmadik sík pedig $T$ egy másik lapjával párhuzamos. Ekkor hat téglatest keletkezik, vagyis ez az eset sem lehetséges. III. A három sík közül mindegyik $T$ másik lapjával párhuzamos. Ekkor valóban nyolc téglatest keletkezik, tehát csak ez az eset lehetséges. Jelöljük $T$ egy csúcsát $A$-val, és legyenek $T$ élei $a$, $b$ és $c$ hosszúak. A három sík elhelyezkedését a téglatesthez képest három ismeretlennel jellemezhetjük. A síkok közül az egyik merőleges $T$ $a$ hosszú éleire, vagyis ha $x$-szel jelöljük a téglatest $A$ csúcsának és a síknak a távolságát, akkor ez egyértelműen meghatározza a síkot. Ugyanígy jelöljük rendre a másik két ($T$-nek a $b$, illetve $c$ hosszú éleit metsző) sík távolságát az $A$ csúcstól $y$-nal, illetve $z$-vel. A kis téglatestek színezésénél nyilván mindegy, hogy az $A$ csúcsnál található téglatestet milyen színűre színezzük, így legyen ez a téglatest fekete. Ennek a téglatestnek az oldalai $x$, $y$ és $z$ hosszúak, vagyis térfogata $xyz$. Az összes kis téglatest éleit és színét ismerjük, vagyis felírhatjuk térfogatukat. Így a fekete részek térfogatának összege: $xyz+x\left(b-y\right)\left(c-z\right)+\left(a-x\right)y\left(c-z\right)+\left(a-x\right)\left(b-y\right)z$, és a fehér téglatestek össztérfogata: $\left(a-x\right)\left(b-y\right)\left(c-z\right)+\left(a-x\right)yz+x\left(b-y\right)z+xy\left(c-z\right)$; mivel a fekete téglák térfogatának összege egyenlő a fehér téglák térfogatának összegével, a két térfogatösszeg különbsége $0$, azaz:   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(xyz+x\left(b-y\right)\left(c-z\right)+\left(a-x\right)y\left(c-z\right)+\left(a-x\right)\left(b-y\right)z\right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left(\left(a-x\right)\left(b-y\right)\left(c-z\right)+\left(a-x\right)yz+x\left(b-y\right)z+xy\left(c-z\right)\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(bcx+acy-2cxy+abz-2bxz-2ayz+4xyz\right)-}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\left(abc-bcx-acy+2cxy-abz+2bxz+2ayz-4xyz\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -abc+2abz+2acy-4ayz+2bcx-4bxz-4cxy+8xyz=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle abc-2abz-2acy+4ayz-2bcx+4bxz+4cxy-8xyz=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a\left(bc-2bz-2cy+4yz\right)-2x\left(bc-2bz-2cy+4yz\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(a-2x\right)\left(bc-2bz-2cy+4yz\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(a-2x\right)\left(b-2y\right)\left(c-2z\right)=0.}\hfill \end{array}}$ Ez pontosan akkor teljesül, ha $x=\frac{a}{2}$, vagy $y=\frac{b}{2}$, vagy $z=\frac{c}{2}$, tehát a síkok közül legalább az egyik felezi $T$-t.