|
Feladat: |
B.4450 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bingler Arnold , Bosze Zsófia , Di Giovanni Márk , Fonyó Viktória , Forrás Bence , Janzer Barnabás , Janzer Olivér , Kabos Eszter , Maga Balázs , Mester Márton , Nagy Róbert , Nagy-György Pál , Sagmeister Ádám , Szabó Attila , Szabó Barnabás , Viharos Andor , Zilahi Tamás |
Füzet: |
2013/november,
471 - 472. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Hiperbola, mint mértani hely, Beírt kör |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2012/április: B.4450 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az háromszögről pontosan akkor beszélhetünk, ha nem illeszkedik az egyenesre, ezért a továbbiakban ezt feltesszük. Érintse az háromszög beírt köre az , és oldalakat rendre az , és pontokban (1. ábra).
1. ábra
A háromszög mindhárom csúcsára igaz, hogy az onnan a beírt körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő hosszú, ezért
| |
Ha az pont -ból indulva befutja az szakaszt, akkor az különbség szigorúan monoton nő, ezért akkor és csak akkor teljesül, ha . Tehát az háromszög beírt köre pontosan akkor érinti az egyenest a pontban, ha teljesül. Ha , azaz ha az szakasz felezőpontja, akkor , vagyis ekkor a keresett mértani hely az szakasz felező merőlegese, kivéve a pontot. Ha , akkor az feltételből következik, hogy és az által meghatározott két félsík közül ugyanabba az félsíkba esik. Tudjuk, hogy azon pontok mértani helye a síkon, amelyekre , egy olyan hiperbola, amelynek fókuszai és , valós tengelyének hossza pedig (2. ábra).
2. ábra A keresett mértani helyet tehát ebben az esetben úgy kapjuk, hogy a hiperbola félsíkba eső hiperbolaágából elhagyjuk annak -vel közös részét, vagyis a pontot. |
|