Feladat: B.4450 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bingler Arnold ,  Bosze Zsófia ,  Di Giovanni Márk ,  Fonyó Viktória ,  Forrás Bence ,  Janzer Barnabás ,  Janzer Olivér ,  Kabos Eszter ,  Maga Balázs ,  Mester Márton ,  Nagy Róbert ,  Nagy-György Pál ,  Sagmeister Ádám ,  Szabó Attila ,  Szabó Barnabás ,  Viharos Andor ,  Zilahi Tamás 
Füzet: 2013/november, 471 - 472. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Hiperbola, mint mértani hely, Beírt kör
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/április: B.4450

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Az ACP háromszögről pontosan akkor beszélhetünk, ha P nem illeszkedik az e egyenesre, ezért a továbbiakban ezt feltesszük.
Érintse az ACP háromszög beírt köre az AC, CP és PA oldalakat rendre az X, Y és Z pontokban (1. ábra).
 


 

1. ábra
 

 
A háromszög mindhárom csúcsára igaz, hogy az onnan a beírt körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő hosszú, ezért
AX-CX=AZ-CY=(AZ+ZP)-(CY+YP)=AP-CP.

Ha az X pont A-ból indulva befutja az AC szakaszt, akkor az AX-CX különbség szigorúan monoton nő, ezért AX-CX=AB-CB akkor és csak akkor teljesül, ha X=B. Tehát az ACP háromszög beírt köre pontosan akkor érinti az e egyenest a B pontban, ha AP-CP=AB-CB teljesül.
Ha AB=CB, azaz ha B az AC szakasz felezőpontja, akkor AP=CP, vagyis ekkor a keresett mértani hely az AC szakasz f felező merőlegese, kivéve a B pontot.
Ha ABCB, akkor az AP-CP=AB-CB feltételből következik, hogy B és P az f által meghatározott két félsík közül ugyanabba az F félsíkba esik. Tudjuk, hogy azon P pontok mértani helye a síkon, amelyekre |AP-CP|=|AB-CB|, egy olyan H hiperbola, amelynek fókuszai A és C, valós tengelyének hossza pedig |AB-CB| (2. ábra).
 


 

2. ábra
 
 
A keresett mértani helyet tehát ebben az esetben úgy kapjuk, hogy a H hiperbola F félsíkba eső hiperbolaágából elhagyjuk annak e-vel közös részét, vagyis a B pontot.