Feladat:	C.1089	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gosztonyi Dorottya
Füzet:	2013/november, 468. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Hossz, kerület, Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Geometriai egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: C.1089

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A szöveg alapján ábrát készítünk. Mivel $t_{ABC}=\frac{4\cdot 4}{2}=8$, azért $t_{ACD}=12$. Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{ACD}=\frac{AC\cdot m}{2}\mathrm{,}\text{és}AC=4\cdot \sqrt[]{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így $m=3\cdot \sqrt[]{2}$.     Húzzuk meg az $AC$-től $3\cdot \sqrt[]{2}$ távolságban lévő, $AC$-vel párhuzamos $e$ egyenest. (Ebből kettő van, de a feladatban csak a berajzolt szükséges.) Tükrözzük $C$-t erre az egyenesre, így kapjuk a $C\text{'}$ pontot. $AC\text{'}$ az $e$ egyenest $D$ pontban fogja metszeni. Tudjuk, hogy ez a legrövidebb távolság $A$ és $C$ között az $e$ egyenest érintve.       Az $ACC\text{'}$ derékszögű háromszögből: $\begin{array}{c}{\displaystyle AC{\text{'}}^2={\left(6\cdot \sqrt[]{2}\right)}^2+A{C}^2=72+32=\mathrm{104,}AC\text{'}=2\cdot \sqrt[]{26}\mathrm{.}}\end{array}$ Ekkor az $ABCD$ négyszög kerülete: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle k}& {\displaystyle =AB+BC+CD+AD=AB+BC+AC\text{'}=4+4+2\cdot \sqrt[]{26}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =8+2\cdot \sqrt[]{26}\approx 18\mathrm{,}2.}\hfill \end{array}}$ Tehát a kerület minimuma kb. 18,2 lesz.