Feladat:	B.4476	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Porupsánszki István
Füzet:	2013/október, 415. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Algebrai átalakítások, Négyzetszámok összege
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: B.4476

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $a^2+b^2=c^2$ egyenletnek létezik végtelen sok olyan megoldása az egész számok halmazán, amelyre az $a$, $b$, $c$ számok egymáshoz relatív prímek. Például   ${\left(4k^2-1\right)}^2+{\left(4k\right)}^2={\left(4k^2+1\right)}^2$, és itt (bármely $k$ pozitív egészre) a $4k^2-1$, $4k$, $4k^2+1$ közül az első és a harmadik páratlan és a különbségük 2, tehát relatív prímek. (Mindketten relatív prímek a középsőhöz is.)   Az azonosság mindkét oldalát elosztva ${\left(4k^2+1\right)}^2$-nel kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(4k^2-1\right)}^2}{{\left(4k^2+1\right)}^2}+\frac{{\left(4k\right)}^2}{{\left(4k^2+1\right)}^2}=1.}\end{array}$ Mindkét oldalt megszorozzuk $169={13}^2$-nel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(13\cdot \frac{4k^2-1}{4k^2+1}\right)}^2+{\left(13\cdot \frac{4k}{4k^2+1}\right)}^2=169.}\end{array}$ Itt például $13\cdot \frac{4k^2-1}{4k^2+1}$ végtelen sok különböző racionális szám, ha $k$ a pozitív egészeket futja be.